Transformation de Laplace : exercices

Exercice 1 : transformée de Laplace inverse

Soit la fonction :

Question n°1 : montrer que p = -1 est une racine simple de D(p)

Réponse

Question n°2 : montrer que

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	Réponse

Soit effectuer la division

Si vous ne savez pas diviser les polynômes, poser :

Développer le deuxième membre et identifier.

Question n°3 : calculer les racines de

Réponse

D' = -16 : racines = - 2 - 4 j et - 2 + 4j

Question n°4 : écrire la formule de décomposition en éléments simples

Réponse

Question n°5 : calculer simplement le coefficient A

Réponse

en soit

Question n°6 : calculer simplement le coefficient D

Réponse

en soit

Question n°7 : calculer les autres coefficients

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	Réponse

On peut soit :

- donner à p des valeurs particulières (par exemple p = -2, p = 1, p = j)

- réduire au même dénominateur le développement et identifier le numérateur obtenu à N(p)

En utilisant la méthode identification :

termes en :

termes constants :

On obtient :

Question n°8 : en déduire la fonction f(t)

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Exercice 2 : calcul opérationnel

On étudie le réseau représenté ci-dessous avec R = 100 W et C = 100 nF.

Toutes les grandeurs sont nnulles pour t < 0.

Question n°1 : exprimer en fonction de R, C et p, l'impédance équivalente au dipôle R - 3C

Réponse

soit

Question n°2 : exprimer en fonction de R, C et p, l'impédance équivalente au dipôle R - C

Réponse

soit

Question n°3 : en déduire la fonction de transfert :

Réponse

On applique à l'entrée une rampe de tension

Question n°4 : ecrire l'expression de V(p)

Réponse

Question n°5 : en posant , décomposer V(p) en éléments simples

	Aide
	Réponse

Rechercher les racines de

Les racines du dénominateur sont 0,

en p = 0 soit

en p = x soit

en p = x' soit

Question n°6 : calculer v(t)

Réponse

Question n°7 : représenter v(t)

Réponse

On applique à l'entrée une impulsion de tension de hauteur 10 V et de durée 100 μs.

Question n°8 : écrire l'expression V(p)

Réponse

Question n°9 : calculer v(t)

Réponse

Question n°10 : représenter v(t)

Réponse

Exercice 3 : prise en compte des conditions initiales

On étudie le réseau ci-dessous avec R = 5 W, R' = 25 W, C = 1 μF et L = 1 mH :

pour t < 0, on a v = Vo = - 5 V = Cste et j = Jo = - 0,1 A = Cste

Mise en équation :

Question n°1 : écrire les lois des noeuds et des mailles en grandeurs instantanées

Réponse

(1) :

(2) :

(3) :

(4) :

(5) :

Question n°2 : en déduire les équations du réseau en transformation de Laplace

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	Réponse

Ne pas oublier les conditions initiales :

(1) :

(2) :

(3) =

(4) :

(5) :

Question n°3 : écrire l'équation donnant la tension U(p)

Réponse

(2) donne (7) :

(3) donne (8) :

(5) donne (9) :

(4) et (9) donnent (10) :

En reportant (7), (8) et (10) dans (1), on obtient l'expression de U :

Réponse à un échelon de tension e(t) = 5.u(t)

Question n°4 : écrire l'expression de U(p)

Réponse

Question n°5 : calculer U(t)

Réponse

Question n°6 : représenter u(t)

Réponse

Etablissement d'un régime sinusoïdal : e(t) = 1.sin (w'.t) de fréquence f' = 4 kHz

Question n°7 : écrire l'expression de U(p)

Réponse

Question n°8 : calculer u(t)

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	Réponse

Question n°9 : que vaut u(t) en régime permanent ?

Réponse

Question n°10 : représenter u(t)

Réponse