Analyse fréquentielle d'un signal : exercices
Exercice 1 : étude d'une fonction "sinus redressé"
On étudie la fonction ci-dessous :
Question n°1 : Si on prend comme période 360°, montrer que l'on n'a que des harmoniques en cosinus de rang pair.
La fonction est paire donc Bn = 0.
La fonction est symétrique par rapport à la demi-période donc que des hamoniques pairs.
Question n°2 : Calculer amplitude et phase des harmoniques de 0 à 10.
Utiliser la table des fonctions.
Fonction redressée avec a = 0.
A0 = 
=191
A1 = 0
A2 = 
= 127
A3 = 0
A4 = 
= 25,5
A5 = 0
A6 = 
= 10,9
A7 = 0
A8 = 
= 6,06
A9 = 0
A10 = 
= 3,86
Question n°3 : En comparant cette fonction à y' = 300sin.θ, donner sans calculs la valeur efficace de la fonction.
Y = Y' =
= 212,13
Question n°4 : Si on ne prend en compte que les harmoniques de rang 0 à 5, exprimer la valeur efficace en fonction des harmoniques. Comparer à la valeur obtenue ci-dessus.
Y = 211,91 V , soit 0,1 % près de la valeur calculée directement.
Exercice 2 : étude d'une fonction rectangulaire
On étudie le signal ci-dessous :
Question n°1 : En utilisant la table des fonctions, donner l'expression des harmoniques en fonction de a.
Utiliser la fonction créneau décalé avec b=π
Pour n pair, Cn = 0
Pour n impair, Cn = 
et yn = 
Question n°2 : Calculer la valeur de a qui annule l'harmonique 3.
Pour la suite, on gardera cette valeur.
= 0
Question n°3 : Calculer directement la valeur efficace (sans utiliser les harmoniques).
Question n°4 : Combien doit-on prendre en compte d'harmoniques pour que la valeur efficace calculée à partir de ceux-ci soit à 5% près égale à celle calculée directement.
Calculer les amplitudes Cn et les valeurs efficaces
successives
Question n°5 : Avec le nombre d'harmoniques ci-dessus, calculer le taux global d'harmoniques.
soit 24,6 %
Exercice 3 : étude d'une foction "redresseur triphasé"
On étudie le signal ci-dessous :
Dans cet exercice, on ne fera pas appel à la table de fonctions mais on devra faire un calcul direct des harmoniques.
Question n°1 : Montrer que cette fonction n'a que des harmoniques impairs.
La fonction est alternative.
Question n°2 : On fait un chagement d'origine q' = θ - qo. Quelle valeur doit-on donner à qo pour que la fonction y3(q') n'ait dans son developpement que des termes en sinus.
La fonction doit être impaire
Question N°3 : Exprimer en fonction de n l'amplitude de l'harmonique de rang n impair de y3(q').
Voir formule de calcul de Bn dans le cours.
Le calcul peut se simplifier.
Pour n impair l'intégrale sur une période est deux fois celle sur une demi période.
Question n°4 : Dessiner le graphe du fondamental de y3(q).
Question n°5 : Calculer la valeur efficace des harmoniques de rang 1 à 15. En déduire le taux global d'harmoniques.
A1 = 7,8
A3 = 0
A5 = 1,56
A7 = 1,11
A9 = 0
A11 = 0,709
A13 = 0,600
A15 = 0
THD = 27,3 %
