Le montage est représenté ci-contre :

L'alimentation se fait par deux sources idéales de tension continues; la charge est un branche de type courant, imposant une intensité i sinusoïdale.

Les règles de structure imposent que :

Ils doivent donc avoir des états complémentaires.

Comme la tension u doit être alternative, les temps de fermeture de K et de K' doivent être égaux. Le plus souvent, on fonctionne en onde rectangulaire, le fonctionnement en onde MLI étant également possible.

Dans le premier mode de commande, K est fermé de 0 à T/2; on a alors v_k = 0, u = E, v'_k = 2.E, i_k = i et

i'_k = 0. De T/2 à T, K' est fermé; on a alors v'_k = 0, u = -E, v_k = 2.E, i_k = 0 et i'_k = i.

La fig.2 donne l'allure des grandeurs pour une branche courant inductive.

Les interrupteurs K et K' doivent être unidirectionnels en tension et bidirectionnels en courant.

Il sont formés d'un interrupteur commandé et d'une diode tête-bêche. La diode conduit durant les intervalles de temps où i est négatif.

L'allure de ik et de vk montre que l'interrupteur doit être commandé à l'ouverture et à la fermeture. Cependant, suivant la nature de la charge, on peut simplifier la commande :

Ø      si la charge est inductive, à t = 0, i < 0; la diode conduit de 0 à t₁ et l'interrupteur commandé de t₁ à T/2. On peut alors utiliser un interrupteur de type thyristor dual, commandé à l'ouverture et qui se ferme naturellement dès que le courant devient positif.

Ø      si la charge st capacitive, , à t = 0, i > 0; l'interrupteur commandé conduit de 0 à t₁ et la diode de t₁ à T/2. Le blocage de l'interrupteur commandé se fait alors naturellement par annulation du courant et on doit seulement commander la fermeture. On peut alors utiliser un thyristor.

 

Si on utilise un transistor bipolaire, on doit utiliser la structure ci-contre :

En effet lorsque le transistor est commandé à la fermeture, il ne contrôle plus le courant et peut être traversé par un courant inverse; le fonctionnement inversé du transistor avec un faible gain peut être dangereux.

On peut éviter la conduction inverse en plaçant une diode Ds en série avec le transistor. Cette diode a l'inconvénient d'augmenter la chute de tension dans l'interrupteur donc les pertes de conduction.

On peut aussi polariser négativement la base de Tr tant que le courant i est négatif pour forcer son blocage mais cela complique la commande car on doit détecter les passage à zéro de i pour débloquer Tr.

Si on utilise un transistor MOS, cet interrupteur possède une diode de structure intégrée; cette diode peut être utilisée pour conduire le courant négatif mais cette diode est de mauvaise qualité en commutation. En basse fréquence, la diode de structure peut être utilisée à condition de ralentir la commutation du MOS; en haute fréquence, cette diode doit être neutralisée en plaçant une diode en série avec le MOS et une diode rapide tête-bêche suivant un montage identique à celui de la fig.3.

Pour les fortes puissances et une fréquence maximale de l'ordre de 1 kHz, on peut utiliser un thyristor GTO.

Dans tous les cas, afin d'éviter une conduction simultanée de K et K' on doit réaliser l'emboîtement des commandes. Lorsqu'on commande la blocage de K, on ne doit pas débloquer simultanément K'; on doit attendre le blocage effectif de K et commander K' au bout d'un temps supérieur au temps de blocage t_off.

Le courant dans le générateur supérieur est égal à i de 0 à T/2 et à 0 de T/2 à T.

Le courant charge est de la forme i = I_max.sin(wt-j). Le courant moyen fourni par le générateur supérieur est donc :

Étudions la forme réelle du courant lorsque la charge est formée d'une résistance R en série avec une inductance L.

Ø      calcul direct : de 0 à T/2, u = E = R.i+L.di/dt; soit t = L/R la constante de temps de la charge, il vient :

.

Le courant initial se calcule en écrivant que le courant est alternatif comme la tension u donc que i(0)=Io = -i(T/2). En posant .

La fig.4 donne l'allure de u et i.

Ø      méthode harmonique : on connaît la décomposition en série de Fourier de la tension u, on peut en déduire celle de l'intensité i; pour chaque harmonique de la tension

Par exemple pour un onduleur à onde rectangulaire de fréquence f = 1 kHz avec E = 24 V,

R = 12 W et L =5 mH, le tableau ci-dessous donne les résultats avec U_n=2.Ö2.E/n.p, pour n impair et

y_n = 0.

On peut en déduire la valeur efficace du courant I=Ö[SI_n^²]= 648 mA.

Ø      Étude énergétique : la puissance apparente fournie à la charge est S = U.I = E.I pour une onde rectangulaire. Chaque harmonique de la tension ne peut créer de la puissance active qu'avec l'harmonique de même rang du courant :

Le tableau ci-dessus donne les valeurs numériques dans l'exemple étudié. On constate que la puissance active correspond quasi totalement au fondamental.

Nous en déduisons S = 15,55 VA, P = 5,04 W ; Q = 13,72 VAR, D = 5,31 VA.

Le taux d'harmonique de la tension est de 48,3 % et celui du courant 13,1 %. La charge inductive filtre les harmoniques.

Le plus souvent on utilise une seule source de tension continue de valeur 2.E et un diviseur capacitif (fig.5).

Étudions le fonctionnement pour une charge R-L.

De 0 à T/2, K est fermé et K' ouvert; les équations sont : (1) u = v = R.i+L.di/dt ; (2) v + v' = 2.E ;

(3) j + i = j' ; (4) j = C.dv/dt ; (5) j' = C'.dv'/dt ; (6) i_k = i ; (7) i_s = j + i .

Les équations (2), (4) et (5) donnent j + j' = 0. Avec (3), nous en déduisons i = 2.j' = -2.j soit

i = -2.C.dv/dt; en reportant dans (1), il vient v + 2.R.C.dv/dt + 2.L.C.d^²v/dt^² = 0.

La forme canonique de l'équation est d^²v/dt^² +(R/L).dv/dt+v/2.L.C = 0 et l'équation caractéristique est r^²+(R/L).r+1/2.L.C.

La tension v devant être quasi constante, le régime doit être apériodique, donc le déterminant de l'équation caractéristique D = (R/L)^² - 2/L.C doit être positif; on doit donc avoir C > 2.L/R^².

L'équation caractéristique a deux racine positives x = -R/2.L + ÖD /2 et  x' = -R/2.L - ÖD /2. Le produit des racines est x.x' = 1/2.L.C > 0 et leur somme est x+x' = -R/L < 0; les deux racines sont donc négatives et la solution de l'équation est de la forme :

i(t) étant alternatif, i(T/2) = i(0); en posant , il vient :

(8) 2.C(x.A+x'.B)=2.C(x.A.Y+x'.B.Y').

Durant cette phase, le condensateur du haut alimente la charge donc se décharge et v diminue; pendant ce temps, le condensateur du bas se charge donc v' augmente; de T/2 à T, les rôles des condensateurs sont échangés donc celui du haut se charge. La tension moyenne par condensateur est égale à E.

En régime permanent, v(T) = v(0) = V_o et la charge perdue pendant la première phase est égale à celle gagnée durant la deuxième phase; en se référant à la tension moyenne, il vient V_o - E = E-v(T/2) soit

(9) A+B-E=E-A.Y-B.Y'.

Les équations (8) et (9) permettent de calculer A et B; les expressions ci-dessus de A et B permettent de calculer I_o et V_o.

Reprenons les valeurs numériques du paragraphe 1.1.3. Pour être en régime apériodique, nous devons avoir

C > 70 µF ; prenons C = 100 µF. Le calcul donne:

x = -537 s^-1, x'=-1863 s^-1, A = 38,2 V, B = -13.9 V ; vo = 24,3 V , I_o = -1,09 A.

La figures 6 donne l'allure des grandeurs.

L'ondulation crête à crête de la tension v est de 1,45 V soit 6% de sa valeur moyenne E.

2 Structure avec trannsformateur à point milieu

Le montage est donné sur la fig.8 :

Le transformateur est supposé parfait; chaque demi primaire a n₁ spires et le secondaire a n₂ spires; nous en déduisons, en posant m = n₂/n₁, v = v' et u = m.v , i_k-i'_k = m.i.

De 0 à T/2, K est fermé et K' ouvert; nous en déduisons v_k=0 donc v = E et u = m.E;  v' = E donc

v'_k = 2.E; i'_k = 0 donc i_k = m.i.

De T/2 à T, K est ouvert et K' fermé; v'_k =0 donc v' = v = -E et v_k = 2.E; i_k = 0 donc i'_k = -m.i.

Les grandeurs ont la même allure que pour l'onduleur en demi-pont, seules les amplitudes diffèrent :

Le calcul réel du courant et le choix des interrupteurs se fait comme pour le montage en demi-pont.

3 structure en pont

Quatre interrupteurs identiques sont connectés en pont. Chaque interrupteur est formé par un interrupteur unidirectionnel commandé K et une diode tête-bêche.

Les règles de structure imposent que les interrupteurs d'un même bras, K1 et K'1 d'une part, K2 et K'2 d'autre part aient des états complémentaires.

Chaque interrupteur sera donc fermé sur une demie période.

Pour obtenir une onde à deux niveaux, K1 et K'2 sont fermés de 0 à T/2 , K'1 et K2 de T/2 à T.

Pour obtenir une onde à trois niveaux, on décale les commandes des deux bras d'un angle a : K1 et fermé de 0 à p et K'1 de p à 2.p; K'2 est fermé de a à p+a et K2 de p +a à 2.p +a.

Dans ce cas, les formes d'onde sont données sur la fig.10 pour une branche courant de type inductif.

Lorsque K1 et K2 , ou K'1 et K'2, conduisent u = 0 et i_s = 0; lorsque K1 et K2 conduisent u = E et i_s = i. Lorsque K'1 et K2 conduisent u = -E et i_s = - i.

Lorsqu'un interrupteur est commandé à la fermeture, K ou D conduit suivant le signe de i et la place de l'interrupteur : pour K1 et K'2,  K conduit pour i > 0 et D pour i < 0; pour K'1 et K2, K conduit pour i < 0 et D pour i > 0.

Ø      de 0 à a, u = 0 = R.i+L.di/dt;  si on utilise la variable angulaire q = w.t, il vient R.i+X.di/dq = 0 avec

X = L.w; en posant k = X/R, la solution est de la forme :

Ø      de a à p, u = E = R.i+X.di/dq;

Faisons une application numérique avec E = 100 V ; R = 10 W ; L = 5 mH ; f = 1 kHz et a = 30°.

Nous en déduisons X = 31,42 W ; k = 3,14 ; I_o = -4.13 A ; I₁ = -3,50 A.

La fig.11 donne l'allure des graphes de u et de i.

Nous avons calculé au Chapitre 7.1, paragraphe 5.2 les harmoniques de la tension u:

Si nous reprenons l'exemple numérique du paragraphe 3.2.1, nous obtenons les résultats du tableau ci-dessous :

Nous en déduisons U = 91,3 V ; I = 2,65 A ; P = 70,1 W ; Q = 224 VAR ; S = 242 VA ; D = 57,6 VA ;

F_p = 0,29 alors que la facteur de puissance de la charge en régime sinusoïdal est de 0,3.

Le taux d'harmoniques de la tension est t_Hu = 31,9 % et celui du courant t_Hi = 8,71 %.

 

4 structure à résonance série

La charge est un dipôle R-L-C série :

L'onduleur en pont ou en demi-pont fonctionne en onde rectangulaire deux niveaux : de 0 à T/2 u = E et de T/2 à T u = - E.

Les équations de la charge sont : u = R.i + L.di/dt + v , i = C.dv/dt ; nous en déduisons L.C.d^²v/dt^² + R.C.dv/dt + v = u . Sur [0 ; T/2], L.C.d^²v/dt^² + R.C.dv/dt + v = E

Les conditions initiales v(0) = vo et i(0) = I_o donnent :

Faisons une application numérique : E = 100 V ; R = 25 W ; L = 5 mH ; C = 820 nF.

Nous calculons a = 2 500 s^-1 , w_o = 15 617 rd/s correspondant à une fréquence de résonance f_o = 2 486 Hz ,

z = 0,16 , w' = 15 416 rd/s .

Commandons l'onduleur à diverses fréquences :

Ø      f = 2 kHz : nous calculons I_o = 1,91 A ; vo = -174 V ; A = -274 V et B = 106 V; la fig.13 donne l'allure de i et de v. La charge étant capacitive à la fréquence f, le courant i est positif en t = 0

Ø      f = f_o : nous calculons I_o = -0,4 A ; vo = -398 V ; A = -498 V et B = -113 V; la fig.14 donne l'allure de i et de v. Le courant est quasi nul en t = 0.

Ø      f = 3 kHz : nous calculons I_o = -2,84 A ; vo = -138 V ; A = -238 V et B = -263 V; la fig.15 donne l'allure de i et de v. La charge étant inductive, le courant est négatif en t = 0.

Chaque interrupteur conduit sur une demie période, le courant changeant de signe sur cet intervalle. A cet instant il y a commutation de la diode D à l'interrupteur commandé K ou l'inverse; cette commutation est naturellement douce puisque i = 0.

Ø      si la fréquence de commande f est inférieure à la fréquence, le circuit est globalement capacitif et i(0) > 0. K conduit en 0⁺; sa fermeture doit être commandée; son blocage est naturel par annulation du courant; ce mode de fonctionnement convient parfaitement pour des thyristors.

Ø      si la fréquence de commande f est supérieure à celle de résonance, i(0) < 0. D conduit en 0⁺ et K en T/2; l'ouverture de K doit être commandée; ce fonctionnement correspond à celui du thyristor dual.

Ø      si la fréquence est proche de la résonance, toutes les commutations se font à courant quasi nul; on a donc commutation douce.

Dans tous les cas, ce type d'onduleur réduit les pertes de commutation donc peut fonctionner à fréquence élevée

Lorsque le coefficient d'amortissement z << 1 et la fréquence de commande peu différente de la fréquence propre du circuit résonant, le courant i est peu différent de son terme fondamental. Étudions le fonctionnement dans cette hypothèse dite du premier harmonique.

Le fondamental de la tension de fréquence f est :

.

Si nous fixons E, L, C et la fréquence de commande f, U₁ et I_cc sont fixés; lorsque R varie, le graphe V_r1(I₁) correspond à un quart d'ellipse correspondant à l'équation ci-dessus. Comme on a de plus V_r1 = R.I₁ (droite de charge), l'intersection de l'ellipse avec la droite de charge donne le point de fonctionnement donc V_r1, I₁ et P.

Si nous fixons E, L, C et R, pour une valeur de f donc de x, l'intersection de l'ellipse avec la droite de charge donne le point de fonctionnement.

Remarquons que le résultat est le même pour deux valeurs de la fréquence f₁ et f₂ telles que f₁/f_o = f_o/f₂ soit

x₁ = 1/x₂; si x₁ > 1, le circuit est inductif à cette fréquence ; on a alors x₂ <1 donc un circuit capacitif. Le choix de x > 1 ou x < 1 se fait en fonction des interrupteurs utilisés.

La fig.16 donne les graphes pour  E = 100 V , L = 5 mH ; C = 820 nF, et trois valeurs de x :1,01 ; 1,02 et 1,04.

On a également tracé deux droites de charges pour R = 5 W et R = 2,5 W.

Dans les mêmes conditions, on a tracé fig.17 les graphes P(I₁) et les droites de puissances P = R.I₁^².

 

Ø      Pour x =1,01 soit f = 2 510 Hz, si R varie de 5 à 2,5 W , la tension varie de 86 à 76,5 V et la puissance de 1 500 W à  2 300 W.

Ø      Pour R = 2,5 W, si x varie de 1,01 à 1,04, la tension varie de 76,5 à 35 V et la puissance de 2 300 à 480 W.

On peut donc régler la puissance transmise à la charge en jouant sur la fréquence de commande.

Pour x fixé, la puissance est maximale pour I = I_cc/Ö2 et vaut U₁.I_cc/2.

Notons que, sur le graphe de puissance, le point d'intersection de P(I₁) avec la parabole P = R.I₁^² doit se situer dans la partie croissante du graphe.

En effet dans cette partie, l'augmentation de R fait chuter la puissance alors que dans la partie décroissante, l'augmentation de la résistance fait augmenter la puissance.

Or au cours du fonctionnement, la puissance dissipée dans R augmente sa température donc sa résistance. Si l'augmentation de R produit une augmentation de puissance, la température augmente encore et l'effet cumulatif conduit le système à fonctionner de façon instable.

Seules les valeurs de P < P_max correspondent donc à des points de fonctionnement stables.

 

5 filtre d'entrée

Étudions le comportement de ce filtre pour un onduleur en pont, en supposant le courant charge sinusoïdal et les interrupteurs parfaits (fig.20).

On a E = v+L.di_s/dt et j = C.dv/dt = i_s - i'.

Si l'onduleur est commandé à la fréquence f = w/2.p avec un décalage angulaire a , on a :

Comme i(t+T/2) = -i(t), les grandeurs du filtre sont de période T/2.

Négligeons pour ce calcul l'ondulation du courant source is.

La fig.21 donne l'allure de v/E pour a = Cste et j variable, la fig.22 pour a variable et j constant.

 

 

L'ondulation de la tension v est maximale pour a = 0° et j = 90°; dans ce cas la valeur moyenne de is est nulle :

La valeur de l'intensité dans la source se déduit de celle de la tension v par l'équation L.di_s/dt = E-v. En remplaçant v par l'expression calculée au paragraphe ci-dessus, on peut déterminer is par intégration; la constante d'intégration se calcule à partir de la valeur moyenne Is.

L'ondulation du courant est maximale lorsque celle de la tension v est maximale, c'est à dire pour a = 0° et

j = 90°; nous avons alors

Si on fixe l'ondulation de la tension v et celle du courant source, on peut donc calculer les composants du filtre :

6 choix d'une structure et de son mode de commande

Les onduleurs de tension monophasés sont les plus souvent utilisés pour des puissances faibles à moyennes.

On distingue deux types d'applications :

Pour régler la puissance transférée à la charge, on peut utiliser :

Envisageons les avantages et inconvénients des structures :

Ø      onduleur en demi-pont à onde rectangulaire :

Ce type d'onduleur est le plus souvent utilisé pour l'alimentation en basse tension.

Ø      onduleur en pont

Ce type d'onduleur est surtout utilisé en haute tension et dans les montages à commande en modulation de largeur d'impulsion.

Ø      onduleur avec transformateur à point milieu

Ø      onduleur à résonance

Cette structure est surtout utilisée dans les applications hautes fréquences telles que le chauffage par induction ou pour réaliser des alimentations à découpage.