.

Le montage étudié est donné par la figure 1 :

Le transformateur assure l'isolement galvanique et l'adaptation de tension.

Le redresseur PD2 à diodes assure la conversion alternatif - continu.

Le condensateur assure le filtrage de la tension de sortie.

Nous supposons que les diodes et le transformateur sont parfaits.

Considérons que le montage est mis sous tension à l'instant t = 0 alors que le condensateur est déchargé.

A t = 0⁺, la tension v = V_max.sinq avec q = 2.p.f est positive et u = 0; les diodes D1 et D'2 conduisent donc

u = v et j = i = i_c + i_r. i_r = u / R et i_c = C.du/dt = C.w.du/dq donc i =I_rmax.(sinq+k.cosq) en posant

I_rmax = V_max/R et k = R.C.w.

Le courant i doit être positif pour maintenir D1 et D'2 en conduction. Pour q = 0, i =k. I_rmax est positif.; pour q = p/2, i = I_rmax est positif.; pour q = p , i = -k.I_rmax est négatif donc les diodes D1 et D'2 se bloquent à l'instant q_e tel que i(q_e)= 0 soit tg q_e = -k avec p/2 < q_e < p .

A cet instant, la tension u = v(q_e) > 0; la diode D2 a une tension positive sur sa cathode et négative sur son anode, elle est donc bloquée. Il en est de même pour D'1.

Les quatre diodes sont bloquées et i = 0.

Nous avons donc pour q > q_e , i_c+i_r = 0 soit u+k.du/dq = 0. La solution de cette équation est u = A.exp(-q/k). La condition initiale u(q_e)=V_max.sinq_e donne u = V_max.sinq_e .exp[-(q -q_e)/k]. Cette tension toujours positive tend vers 0 lorsque q tend vers l'infini.

La tension u sur la cathode de D2 est comprise entre 0 et V_max ; celle sur son anode est -v; à partir de q = p, -v devient positive et augmente de 0 à V_max. Il existe donc un instant q_a tel que 0 < q_a < p et u(q_a + p)= -v(q_a + p); à cet instant la tension aux bornes de D2 est nulle et D2 conduit ainsi que D'1.

Pour calculer q_a, nous devons résoudre l'équation :

.

Cette équation ne peut se résoudre que graphiquement ou numériquement par approximations successives.

Pour q > p +q_a , D2 et D'1 conduisent et  u = -v; on en déduit i =-I_rmax.(sinq+k.cosq).

Si on pose q' > p +q, i(q')=I_rmax.(sinq'+k.cosq'). Nous retrouvons la même valeur du courant que lorsque D1 et D'2 conduisaient. D2 et D'1 se bloquent donc en q'_e tel que tgq'_e =-k soit q = p+q_e . A partir de cet instant le régime permanent est atteint.

En régime permanent :

v     de  0 à q_a , les 4 diodes sont bloquées : u = V_max.sinq_e .exp[-(q -q_e)/k] ; i = 0 ; i_r = -i_c = u/R ; j = 0.

Les deux diodes D1 et D'1 sont en série: v_d1+v_d'1 = -u; la répartition de tension entre les deux diodes est difficile à prévoir.

v     de  q_a à q_e , les diodes D1 et D'2 conduisent : u = v ; i =I_rmax.(sinq+k.cosq). Le courant par redresseur atteint sa valeur maximale en q_a. v_d1 = v_d'2 = 0. Le courant réseau j = i.

v     de  q_e à p+q_a , les 4 diodes sont bloquées : u = V_max.sinq_e .exp[-(q -q_e)/k] ; i = 0 ; i_r = -i_c = u/R ; j = 0. Les deux diodes D1 et D'1 sont en série: v_d1+v_d'1 = -u.

v     de p+q_a à 2.p+q_e , les diodes D2 et D'1 conduisent : : u = -v ; i =-I_rmax.(sinq+k.cosq). v_d1= v. Le courant réseau j = -i.

Les grandeurs de sortie du redresseur u, i, ir et ic sont de fréquence 2.f alors que les grandeurs d'entrée v, j et celles par diode (courant et tension) sont de fréquence f.

L'ondulation de la tension u est . Plus la constante k augmente, plus l'angle q_e est voisin de 90° et plus la décroissance de exp[-(q -q_e)/k] est lente. L'ondulation sera donc d'autant plus faible que k = R.C.w sera grande devant 1.

Calculons la valeur moyenne de la tension u :

Tous calculs faits, il vient :

En régime périodique permanent, l'intensité moyenne dans un condensateur est nulle; nous en déduisons I_cmoy = 0 et I_moy = I_rmoy = U_moy / R. Chaque diode conduisant tout le courant durant une alternance sur deux, nous avons I_dmoy = U_moy /2.R.

Calculons le courant crête par diode; quand une diode conduit i =I_rmax.(sinq+k.cosq); la dérivée

di/dq =I_rmax.(cosq-k.sinq) s'annule pour tgq_m = 1/k soit  q_m = q_e - p/2 ; l'intensité est maximale pour cet angle s'il est compris dans l'intervalle de conduction [q_a; q_e] soit si k < 2.

Si k < 2 : i_max = i(q_m) et si k > 2, cas le plus fréquent, i_max = i(q_a)  .

Calculons l'intensité efficace en ligne; le courant en ligne étant alternatif et de période 2.p, il vient : .

Tous calculs faits, il vient :

.

Chaque diode conduisant une alternance sur deux, l'intensité efficace par diode est J/Ö2.

Dressons un tableau de valeurs en fonction de k :

Nous constatons que l'augmentation de k :

Le calcul direct des grandeurs est complexe en raison du mode de calcul de q_a et des formules à appliquer pour calculer les valeurs moyennes et efficaces.

Dans la plus part des applications, on désire une faible ondulation en sortie ce qui impose de choisir k >> 1. Dans ce cas, nous voyons que les angles d'amorçage et de blocage des diodes tendent vers 90 °. De plus la fonction exponentielle durant la décharge de C peut être assimilée à une droite de faible pente puisque

(q -q_e)/k << 1.

La tension u a alors l'allure de la fig.2 :

De p/2 à 3. p /2 :

Le courant dans R est quasi constant .

Si l'ondulation est faible devant la valeur crête, nous avons I_moy = I_rmoy »V_max/R.

Nous en déduisons donc C.w.Du/p = V_max/R soit Du = p. V_max /R.C.w = p. V_max /k.

La tension u étant de forme triangulaire, nous avons U_moy = V_max -Du/2 = V_max.(1-p/2.k).

Pour calculer l'intensité maximale dans les diodes, nous ne pouvons retenir la simplification q_a= p/2 qui donne J_max = C.w.V_max car cette valeur est beaucoup trop grande en régime permanent par rapport à la valeur exacte.

On peut calculer l'angle q_a en écrivant que ; nous avons alors J_max = I_rmax.(sinq_a +k.cosq_a).

Prenons une tension efficace V = 18 V soit V_max = 25,5 V. La charge est une résistance R = 47 W.

Prenons C = 1 000 µF. Nous en déduisons k = 14,8.

Nous avons q_e = 93,87 ° ; q_a = 57,40 ° ;U_moy = 23,6 V ; Du = 4,02 V ; I_moy = 502 mA ; J_max =  4,78 A ;

J = 1,28 A.

La puissance apparente du transformateur est S = V.J = 23 VA alors que la puissance fournie à la charge est R.I_moy^² en négligeant l'ondulation de ir, soit P = 11,8 W. Le facteur de puissance au secondaire du transformateur est donc P/S = 0,51.

La fig.3 donne l'allure des grandeurs :

Du = p. V_max /k. = 5,4 V soit 35 % de plus que le calcul exact.

U_moy = V_max -Du/2 = 22,8 V soit 3,4 % de moins que le calcul exact.

donne q_a = 52° soit 9,5 % de moins que le calcul exact.

J_max = I_{r max}.(sinq_a +k.cosq_a) = 5,37 A soit 12,4 % de plus que le calcul exact.

On constate que le calcul approché donne des résultats pessimistes avec une forte erreur sur l'ondulation bien que k soit supérieur à 10.

Nous devons tenir compte :

Ø      de la chute de tension dans les diodes lorsque le montage est utilisé en basse tension. Comme deux diodes conduisent en série, nous devons retrancher environ 1,5 V à la tension u.

Ø      de l'impédance interne du transformateur; en utilisant son modèle de Kapp, le réseau alimentant le pont est équivalent à un générateur de tension m.V_réseau ( m = rapport de transformation) en série avec une résistance R_s et une inductance L_s.

L'impédance interne du transformateur crée une chute de tension et également une déformation de la tension v qui n'est plus sinusoïdale car j ne l'est pas. L'inductance L_s a un effet bénéfique en lissant le courant donc en diminuant le facteur de crête et le facteur de forme de l'intensité j.

Le calcul est complexe à réaliser. La simulation sous Spice de l'exemple ci-dessus donne les résultats de la fig.4 avec R_s = 0,6 W et L_s = 0,8 mH.

On mesure :

L'analyse harmonique du courant j donne :

L'importance des harmoniques entraîne une pollution du réseau et explique le faible facteur de puissance.

Dans le montage étudié précédemment, la tension de sortie dépend de la charge et il est difficile d'obtenir une faible ondulation.

On peut intercaler entre le condensateur de filtrage et la charge un régulateur intégré de tension (RIT en abrégé). Le régulateur fournit alors une tension de sortie u_s régulée, c'est à dire quasi indépendante de la charge, et d'ondulation négligeable. Pour une charge fixe, le courant de sortie i_s est constant ainsi que le courant d'entrée du régulateur i_e peu différent de i_s.

.

Étudions ce montage en négligeant l'impédance de la source en entrée du pont et la chute de tension dans les diodes.

Nous avons i_e = I_s = U_s / R = Cste

Lorsque D1 et D'2 conduisent, u = v = V_max.sinq et i = i_e + i_c =I_s + C.w.V_max.cosq . Les diodes se bloquent en q_e > p/2 pour i = 0 soit cos q_e = -I_s/(C.w.V_max).

Les quatre diode sont ensuite bloquées et le condensateur se décharge à courant constant i_c = C.w.du/dq= -I_s.

Il vient .

D2 et D'1 conduisent en p+q_a avec u(p+q_a)= -v(p+q_a)  soit , équation à résoudre numériquement.

En général, q_e et q_a sont peu différents de p/2 donc la décharge de C dure environ p donc Du = p.I_s/ C.w. Nous avons U_min = U_max - Du = V_max - p.I_s/ C.w  = V_max.sin q_a ; on en déduit q_a et I_max = J_max = I_s + C.w.V_max.cosq_a .

La valeur moyenne de i est I_s et le courant moyen par diode vaut I_s/2.

La valeur efficace de i et de j est : soit

Nous nous fixons la tension de sortie U_s et le courant de sortie I_s, par exemple 15 V et 0,5 A.

Ø      choix du régulateur : en fonction de la tension et du courant, nous choisissons un régulateur intégré par exemple un type LM7815C de tension de sortie 15 V et pouvant débiter 1A.

La notice constructeur dit que la tension d'entrée doit être comprise entre 18 et 35 V.

Ø      choix de la tension v : la tension V_max doit être inférieure à 35 V soit V < 24,7 V.

Si on prend une chute de tension de 1,4 V dans les diodes et une ondulation de 10 %, la tension minimale est V_max - 1,4 - 0,1.V_max ; cette tension devant être supérieure à 18 V, on a V_max > 21,6 V soit V > 15,3 V.

Comme on envisage que la tension du réseau au primaire puisse varier de 10 %; on doit prendre

V < 24,7 /1,1 = 22,5 V et V > 15,3/0,9 = 17 V.

On peut prendre un transformateur 220/18V.

Ø      choix du condensateur : lorsque la tension du réseau est la plus faible, V_max = 22,9 V soit

U_max = 22,9 -1,4 =21,5 V ; U_min = U_max - Du > 18 V donne Du = p.I_s/ C.w  < 3,5 V; nous en déduisons

C > 1 430 µF; prenons C = 1 500 µF.

Ø      choix des redresseurs : le courant moyen par redresseur est I_s/2 soit 250 mA.

Dans le cas le plus défavorable V_max = 28 V, q_e = 92,2°; Du =3,33 V ;

U_min =24,67 V; q_a = arc sin(U_min / V_max)= 61,8 °. I_max =6,8 A ; J = I = 1,64 A.

La tension inverse maximale est de 28 V; un pont compact 40 V / 1 A convient.

Ø      choix du transformateur : la puissance apparente est V.J = 18 x 1,1 x 1,64 = 32,5 VA dans le cas le plus défavorable.

Ø      choix du radiateur du RIT : la tension moyenne à l'entrée du régulateur est U_max-Du/2 soit

26,6 - 3,33/2 = 25 V.

La tension aux bornes du régulateur est 25 -15 = 10 V. Le régulateur doit dissiper 5 W. La notice constructeur dit que le régulateur peut dissiper 2 W sans radiateur et 15 W avec un radiateur infini; il faut donc un radiateur.

En prenant une température ambiante de 25 °C et une température de jonction de 100 °C, la résistance thermique totale est (100-25)/ 5 = 15 °C/W. La résistance thermique jonction boîtier étant de 2,5 °C/W et celle entre boîtier et radiateur de 3 °C/W, le radiateur doit avoir une résistance thermique

15 - 2,5 -3 = 9,5 °C/W.

2 commande d'une machine continue

On dispose d'un moteur à courant continu excité par des aimants permanents de tension nominale U_n = 80 V et d'intensité nominale I_n = 10 A.

Les caractéristiques du moteur sont : résistance d'induit R = 0,3 W ; inductance d'induit L = 0,1 mH ; constante de f.é.m  K=E/W =0,42 V.s ; moment du couple de perte_s Tp = 0,2 Nm supposé constant en valeur absolue.

Le courant à vide du moteur est donc I_v = T_p/ K = 0,48 A.

On veut commander ce moteur pour pouvoir avoir une vitesse variant de -1 500 à +1 500 tr/min pour une courant d'induit quelconque entre I_v et 1,2.I_n = 12 A.

Le moteur est alimenté à partir du réseau alternatif 220 V - 50 Hz par un transformateur de tension secondaire v et un redresseur PD2. On prend en compte une variation possible du réseau égale à 10 % de la valeur nominale.

Nous avons E = K.W = K'.n avec K' = K.p/30 = 0,044; U = E+R.I en valeurs moyennes.

La tension de sortie du pont est U = (2.V_max/p).cos a , a étant l'angle de retard à l'amorçage des thyristors soit en fonction de la tension efficace V : U = 0,9.V.cos a

On respectera les butées a = 8° en redresseur et a = 150° en onduleur.

La valeur maximale de U est atteinte pour a = 8° et vaut alors 0,89.V ; cette valeur doit correspondre à la vitesse et au courant maximum soit n = 1 500 tr/min ;

E = 66 V ; I = 12 A et U = 69,6 V. Nous devons donc avoir V > 69,6 /0,89 = 78,2 V.

La valeur minimale de U est atteinte pour a = 150° et vaut alors -0,78.V ; cette valeur doit correspondre à la vitesse et au courant minimum soit n = -1 500 tr/min ; E= -66 V ; I = 0,48 A et U = -65,9 V. Nous devons donc avoir V > -65,9 /-0,78 = 84,4 V.

Nous devons donc avoir V > 84,4 V lorsque le réseau est le plus faible soit en majorant de 10 %, V > 93 V. Nous pouvons prendre un transformateur 220 / 100 V.

Pour pouvoir plus facilement contrôler la vitesse, nous voulons rester en conduction continue pour toute valeur de a et du courant I. D'après les courbes de charge de la structure PD2 identiques à celles de la structure P2, nous devons avoir x = L.w.I / V_max > 0,65 ( Cf. Chapitre 5.2). En nous plaçant dans le cas le plus défavorable où I = 0,48 A et V= 100x1,1=110 V, nous devons avoir L > 671 mH. Nous pouvons prendre une inductance de lissage de 0,7 H, l'inductance du moteur étant négligée.

Pour tenir compte de la résistance de la bobine de lissage, nous modélisons donc la charge par une résistance R = 0,5 W , une inductance L = 0,7 H et une f.é.m E.

Nous considérons que le transformateur est parfait (impédance de ligne nulle) ainsi que les thyristors. Étudions deux points de fonctionnement