1 principe

Le montage de principe de l'alimentation type Forward est donné sur la fig.1.

 

Il fonctionne suivant le principe du hacheur série en introduisant un transformateur entre l'interrupteur K et la diode de roue libre.

Lorsque K est fermé, v₁ = E ; d'après les sens d'enroulements, v₂ >0 et v₃ < 0. Les diodes D2 et D3 sont bloquées et D1 conduit. La source magnétise le transformateur et alimente la charge à travers le transformateur et le filtre L-C de sortie.

Lorsqu'on ouvre K, D1 se bloque; la continuité du courant dans l'inductance L implique la conduction de D2; la charge est alimentée par l'énergie magnétique stockée dans l'inductance.

Il faut démagnétiser le transformateur T sinon on arrivera à saturation du circuit magnétique et le transformateur se comportera comme un court-circuit au primaire. La démagnétisation est assurée par le troisième enroulement qui renvoie l'énergie magnétisante à la source à travers la diode D3. On doit démagnétiser complètement le transformateur à chaque alternance.

On a une alimentation asymétrique car le flux dans T est toujours positif ou nul. Le nom de Forward vient du fait que dans ce montage la conduction est directe : l'énergie est transmise directement de la source à la charge à travers le transformateur.

2 analyse simplifiée

2.1 Hypothèses

Pour simplifier l'étude, on suppose :

v     le transformateur T parfait : résistances et inductances de fuites nulles.

Son modèle est représenté sur la fig.2 :

L_µ est l'inductance magnétisante parcourue par le courant magnétisant i_µ; si j est le flux dans la section droite n₁.j = L_µ.i_µ.

Si on appelle respectivement n₁, n₂, n₃ les nombres de spires des enroulement primaire, secondaire et de démagnétisation, on a :

v     les interrupteurs K, D1, D2 et D3 parfaits : tension nulle à l'état passant, courant nul à l'état bloqué, commutations instantanées

v     la tension de sortie parfaitement filtrée : v_s = V_s = Cste.

v     l'interrupteur K est commandé à la fréquence f avec le rapport cyclique a

2.2 Phase de conduction directe

De 0 à a.T, l'interrupteur K est fermé imposant v_k = 0 donc v₁ = E. Le transformateur impose

v₂ = m.E et v₃ = -m'.E . La tension aux bornes de D3 est -(1+m').E donc elle est bloquée. Si on suppose m.E > V_s, D1 conduit et donc D2, soumise à -m.E est bloquée.

v₁=L_µ.di_µ/dt = E donne i_µ = E.t/L_µ+A;

comme la démagnétisation est complète à chaque période i_µ= E.t/L_µ.

Au secondaire i₂ = i et L.di/dt = v₂-V_s= m.E-V_s ; i₂ = i_1t/m = (m.E-V_s).t/L+B. Comme la phase de conduction est précédée de la phase de roue libre au secondaire, i(0)=I_min , valeur minimale du courant dans l'inductance; il vient i₂ = i_1t/m = (m.E-V_s).t/L+ I_min; i₁ = m.i₂+i_µ.

A la fin de cette phase, les courants magnétisants et celui dans l'inductance du filtre sont maximaux : 

I_µmax = E.a/L_µ.f ; iM= (m.E-V_s). a /L.f + I_m ; I_1max = m.I_max + I_µmax .

2.3 Phase de démagnétisation

A t = a.T, K est ouvert imposant i₁ = 0. Le courant magnétisant diminue donc v₁ et v₂ sont négatives et v₃ positive. v₂ > 0 impose le blocage de D1; comme i ne peut être discontinu, la diode D2 conduit; v₃ > 0 impose la conduction de la diode D3.

On a donc v₃ = - E ; v₁ = - E / m' ; v₂ = -m.E/m' ; i₁ = i₂ = 0 ; i_1t= -i_µ = -m'.i₃.

Posons t' = t-a.T ; L_µDiµ/dt = - E / m' avec i_µ(t'=0)=I_µmax donne i_µ = I_µmax - E.t'/m'.L_µ = m'.i₃ .

La phase de démagnétisation prend fin en b.T pour i_µ = 0 ; on a alors blocage de la diode D3; posons

b' = b-a, i_µ( b'.T=0) donne I_µmax = E.a/L_µ.f = E. b'/m'.L_µ.f soit b ' = m'. b et b = (m'+1). a.

Pour que la démagnétisation soit complète, il faut b < 1 donc a < 1/(m'+1).

Durant cette phase, le filtre de sortie est court-circuité en entrée par D2 : L.di/dt = vs donne

i = I_max-V_s.t'/L.

2.4 Phase de repos

De b.T à T, K est ouvert, D3 est bloquée donc i₁,i₃ et i_µ sont nuls ainsi que les tensions des trois enroulements. D2 est bloquée et D1 conduit pour assurer la continuité de i.

Le courant dans L continue  à évoluer comme dans la phase de démagnétisation: i =I_max-V_s.t'/L. En régime établi i( t = T ) = i(0) = I_min.

La fig.3 donne l'allure des grandeurs.

 

3 calcul des grandeurs

La tension u a pour valeur moyenne U = a.m.E; comme la tension moyenne aux bornes de l'inductance est nulle, nous avons U = vs donc vs = a.m.E.

La tension moyenne aux bornes de l'inductance L_µ est nulle donc V₁ = a.E-(b-a).E/m' = 0; nous en déduisons  b = (1+m').a. Le fonctionnement en démagnétisation complète impose a < 1/(1+m').

De 0 à a.T, u = m.E = L.di/dt+vs donc di = (m.E-V_s).dt/L.

Le courant étant linéaire, nous avons Di = I_max - I_min = a.T.(m.E-V_s)/L = a.(m.E-V_s) /L.f soit

Di = a.(1-a).m.E/L.f..

Comme le courant moyen dans C est nul en régime permanent, nous avons en valeur moyenne

I = (I_max + I_min)/2 = Is .Nous en déduisons I_max = I_s+Di/2 et I_min = I_s - Di/2.

Le courant secondaire i₂ évolue entre I_max et I_min; sa valeur moyenne est

Le courant primaire i₁ évolue entre I_1min = m.I_2min = m.I_min et I_1max = m.I_max +I_µmax.

Sa valeur moyenne est

Le courant i₃ évolue de I_µmax/m' à 0; sa valeur moyenne est I_3moy = (b-a)I_µmax/2m' et sa valeur efficace .

4 calcul des composants

4.1 Inductance magnétisante

L'inductance L_µ est choisie pour que le courant magnétisant maximal soit de l'ordre de 10 à 15 % de.I_1max . Avec I_µmax = E.a/L_µ.f , nous pouvons calculer L_µ.

4.2        Interrupteur K

L'interrupteur est unidirectionnel en tension et courant, commandé à l'ouverture et à la fermeture. On choisit généralement un transistor. Le choix entre un modèle bipolaire ou un MOS se fait suivant les mêmes critères que pour l'alimentation Flyback (Cf. Ch 4.3).

La tension maximale à l'état bloqué est  V_kmax = E(1+1/m') et le courant maximal à l'état passant est

I_1max = m.I_2max+I_µmax avec I_2max = I_s+Di_s/2 . Généralement Di_s est de l'ordre de 10 % de I_s et I_µmax de l'ordre de 10 à 15 % de m.I_2max . Nous en déduisons I_1max @ 1,2.m.I_2max .

Calculons le facteur de dimensionnement ; avec vs = m.a.E, il vient ; comme a <1/(1+m'), nous avons .

Le facteur de dimensionnement est minimal et vaut 4,8 pour m' = 1; on a alors a < 50 %.

Généralement on adoptera donc n₁ = n₃ pour minimiser F_d.

4.3 Diode D1

La diode D1 est parcourue à l'état passant par le courant i₂; lorsqu'elle est bloquée, D2 conduit donc D1 supporte en inverse la tension v₂ soit m.E/m'.

Le courant moyen dans D1 est donc de l'ordre de a.I_s avec une valeur crête I_s+Di_s/2.

4.4 Diode D2

La diode D2 est parcourue par le courant i de a.T à T et lorsqu'elle est bloquée, elle supporte en inverse la tension v₂ soit m.E. Le courant moyen dans D2 est donc de l'ordre de (1-a).I_s avec une valeur crête I_s+Di_s/2.

4.5        Diode D3

La diode D3 est parcourue par i_µ de a.T à b.T et lorsqu'elle est bloquée, supporte la tension E.(1+1/m') soit 2.E si on prend m' = 1. Le courant moyen dans D3 est donc (b-a).I_µmax/2 et le courant crête est I_µmax

Les diodes doivent avoir une rapidité adaptée à la fréquence de découpage choisie. Lorsque les tensions à bloquer sont relativement faibles (moins de 100 V), on a intérêt à choisir des diodes Schottky pour D1 et D2 afin de limiter les pertes.

4.6        Inductance de filtrage

L'ondulation crête à crête du courant i est Di = a.(1-a).m.E/L.f.. Si nous fixons Di à environ 10 % de I_s, nous pouvons en déduire L.

4.7        Condensateur de filtrage

Le calcul de l'ondulation de la tension de sortie est identique à celui effectué pour l'alimentation non isolée (Cf Chapitre 3.2); nous en déduisons DVs = Di/8.C.f.

 

5 dimensionnement

5.1 Données

On se fixe :

v     la tension d'alimentation et sa plage de variation : E_min £ E £ E_max

v     la tension vs et la puissance P_s de la sortie

v     l'ondulation crête à crête maximale en sortie DV_s

v     le rendement h estimé (de 75 à 85 %)

v     la fréquence de découpage f

v     la valeur maximale du rapport cyclique : de 40 à 50 %

v     l'ondulation crête à crête Di du courant dans l'inductance du filtre

5.2 Étapes du calcul

 

Étape 1 -  calcul du rapport de transformation

Nous avons vs = a.m.E ; en tenant compte de la chute de tension dans les diodes de l'ordre de 1 V, nous avons m = (1+Vs)/a.E; pour pouvoir obtenir la tension de sortie désirée, dans les conditions les plus défavorables, nous devons avoir m > (1+Vs)/a_max.E_min.

 

Étape 2 -  sélection du circuit magnétique

Comme pour l'alimentation Flyback, à l'aide des notices constructeurs, on sélectionne un circuit magnétique en fonction de la fréquence de découpage et de la puissance.

On choisit de préférence des noyaux de type E ou U, éventuellement des pots RM pour les puissances faibles à moyennes dans les montages nécessitant un faible rayonnement parasite des bobinages.

 

Étape 3 -  calcul des nombres de spires

au primaire : le flux maximal la section droite de la bobine primaire est F_max = B_max . A_e , A_e étant la section effective du circuit magnétique choisi; nous avons par définition de l'inductance

L_µ.I_µmax = n₁. F_max .

On choisit un champ maximal de 0,1 à 0,25 T suivant les matériaux et la fréquence; plus la fréquence est élevée, plus on choisit une valeur faible pour limiter les pertes magnétiques.

L'intensité maximale est I_µmax = E. a.T /L_µ; on en déduit

Avec la valeur minimale de m calculée à l'étape 1, on détermine le nombre minimal de spires n₂ au secondaire.

L'enroulement de démagnétisation a généralement le même nombre de spires n₃ que le primaire pour minimiser le facteur de dimensionnement de l'interrupteur; ce ci n'est possible que si on a choisi a_max< 50 %. Si ce n'est pas le cas, il faut respecter m' = n₃/n₁ < (1- a_max)/ a_max.

On doit vérifier qu'il y a au moins une spire au secondaire; si ce n'est pas le cas, il faut augmenter n₁ en choisissant un noyau de plus faible section et en reprenant l'étape 3.

 

Étape 4 -  calcul de l'entrefer

On calcule la valeur moyenne du courant primaire I_1moy = P_s / (h.E_min) puis sa valeur crête l'assimilant à un créneau de courant :I_1max = I_1moy/a. On en déduit la valeur crête du courant magnétisant

I_µmax = I_1max /10. Oon en déduit l'inductance magnétisante .

On calcule l'inductance spécifique A_L = L_µ/n₁^². Si, pour le circuit magnétique choisi, on dispose du graphe donnant l'inductance spécifique en fonction de l'entrefer, on peut lire la valeur e de l'entrefer. Si on ne dispose pas de ces graphes, on peut calculer l'entrefer à partir de la valeur A_L0 de l'inductance spécifique du noyau sans entrefer: , l_e étant la longueur effective du circuit magnétique et µ_e sa perméabilité effective données par la fiche constructeur du circuit magnétique.

Dans la plus part des cas, la présence d'un entrefer ne sera pas nécessaire car l'énergie magéntisante à stocker est très faible.

Étape 5 -  calcul des bobinages

Il faut d'abord calculer les intensités efficaces au primaire et au secondaire.

Pour un bobinage, on peut en déduire la section du fil en prenant une densité de courant  J = 3 à 5 A/mm^². Avec S = I / J = p.D^²/4 ; on en déduit le diamètre D du fil nu.

On calcule l'épaisseur de peau d = 70/Öf , d étant en mm et f en Hz. Si D < 2. d, on peut utiliser du fil classique, dans le cas contraire il faut utiliser du fil de Litz; on calcule alors le diamètre maximal de chaque brin égal d = 2 d, la section de chaque brin s = p.d^²2/4 et le nombre de brins S/s.

Connaissant le nombre de spires et le diamètre du fil de chaque bobinage, on doit vérifier que l'on peut loger tous les bobinages sur la carcasse du circuit magnétique.

La notice constructeur donne la surface de la fenêtre de bobinage S_b. On peut calculer la surface occupée par les fils de chaque bobine n.S', S' étant la section du fil avec son isolant. On en déduit la surface totale Sn.S'; pour que le bobinage soit réalisable, il faut que le coefficient de foisonnement S_b / Sn.S' soit au moins de 2.

On peut aussi utiliser les abaques constructeurs donnant pour chaque tore, le nombre de spires maximal en fonction du diamètre du fil isolé.

Si la fenêtre de bobinage est trop petite pour contenir toutes les spires, on doit choisir un circuit ayant une plus grande fenêtre et reprendre le calcul à l'étape 3.

Étape 6 -  calcul de l'inductance de filtrage

v     Étape 6.1 calcul de l'inductance : pour limiter l'ondulation du courant, on doit avoir

v     Étape 6.2  choix du circuit magnétique : le courant maximal dans l'inductance étant

I_max = I_s+Di/2, l'énergie magnétique à stocker dans le circuit est L.I_max^²/2.

Les notices constructeurs permettent le choix d'un noyau en fonction de L.I_max^² (Cf. annexe 1) et la valeur de l'inductance spécifique A_L correspondante.

v     Étape 6.3 calcul du nombre de spires et de l'entrefer : on a L = n².A_L; on en déduit le nombre de spires n. L'entrefer se calcule comme à l'étape 4 pour le transformateur. Si l'entrefer est supérieur à 5 ou 6 mm, il faut changer de noyau et reprendre à l'étape 6.2. On doit également vérifier que le noyau ne se sature pas en comparant n.I_max à la valeur autorisée en fonction de l'entrefer.

v     Étape 6.4 calcul du bobinage : on calcule le courant efficace I dans l'inductance et on choisit le fil du bobinage comme à l'étape 5. On doit vérifier que la fenêtre de bobinage est suffisamment grande pour loger les n spires; si ce n'est pas le cas, il faut prendre un noyau plus gros et revenir à l'étape 6.2.

v      Étape 7 - évaluation des pertes: pour chaque circuit, la notice constructeur donne les pertes magnétiques en fonction de la fréquence et du champ maximal.

On peut évaluer la résistance du bobinage; la notice constructeur donne la longueur moyenne d'une spire sur la carcasse; en la multipliant par le nombre de spires, on peut en déduire la longueur du fil donc sa résistance R= r.L/S avec r = 1,6.10^-8 W.m et les pertes par effet Joule.

On fera de même pour l'inductance.

En ajoutant à ces pertes, celles dans l'interrupteur K et dans les diodes, on aura un ordre de grandeur du rendement à comparer avec la valeur fixée au départ. Si le rendement obtenu est inférieur à celui voulu, on devra réduire les pertes en reprenant le calcul soit avec une densité de courant plus faible pour réduire les pertes par effet Joule, soit avec des noyaux moins gros pour réduire les pertes magnétiques.

v      Étape 8 - choix des autres composants: on doit choisir la valeur du condensateur  C > Di/8.f. DVs . Le choix de la technologie est identique à celui de l'alimentation Flyback.

L'interrupteur K et les diodes sont choisis en fonction de la fréquence de découpage et des valeurs maximales calculées au paragraphe 4.

5.3 Exemple

On veut réaliser une alimentation continue 12 V - 20 A à partir du réseau EdF.

Ø      Données.

v L'alimentation continue E est obtenue par redressement et filtrage; la tension réseau est de 230V avec une fluctuation de 20 %; la tension crête du réseau varie donc de 260 à 390 V; si on compte une chute de tension maximale de 2 V dans le redresseur et une ondulation après filtrage de 10 % de la tension crête, on a E_min = 230 V et E_max = 390 V.

v On se fixe une ondulation résiduelle en sortie  DV_s = 0,25 V.

v On estime le rendement à 75 %.

v La fréquence de découpage est fixée à f = 60 kHz.

v Le rapport cyclique varie de 30 à 45 %.

Ø      Étape 1 : m > (1+vs)/a_max.E_min donne m > 0,126 .

Ø      Étape 2: les tables de choix conseillent une circuit LCC GER 42x21x20 en matériau B50 (Cf caractéristiques en annexe 1). On lit A_e = 233 mm².

Ø      Étape 3 : avec B_max = 200 mT,  donne n1 = 63 spires ; n₂ > 7,9 donne n₂ = 8 spires ; n₃ = n₁ = 63 spires.

Ø      Étape 4 : I_1moy = P_s / (h.E_min) = 1,31 A ; I_1max = I_1moy/a = 2,9 A. On en déduit la valeur crête du courant magnétisant I_µmax = I_1max /10 = 0,29 A.  soit L_µ = 6 mH

On calcule l'inductance spécifique A_L = L_µ/n₁^²= 1512 nH. La caractéristique entrefer = f(A_L) donne une entrefer de 0,15 mm, valeur convenable.

Ø      Étape 5 :  on se fixe une ondulation du courant dans l'inductance de  10 % de Is soit 2 A; on a donc I_max = I_2max = 21 A et I_min = I_2min = 19 A; on en déduit la valeur efficace du courant secondaire I₂ = 13,5 A.  I_1max = m.I_2max+I_µmax = 3,5 A et I_1min =  m.I_2min = 2,55 A donne I₁ = 2,1 A. I₃ = 0,27 A avec b = 2.a.

Prenons une densité de courant J = 4 A/mm^². L'épaisseur de peau d = 70/Öf est 0,29 mm.

Au primaire S₁ = 2,1 /4 = 0,53 mm^² soit un diamètre D₁ = 0,82 mm, valeur supérieure à 2.d; il faut donc prendre du fil de Litz. On peut choisir un fil formé de 10 brins de diamètre 0,28 mm donnant une section de 0,62 mm^²; le diamètre extérieur du fil est de 1,33 mm et sa résistance 28 mW par mètre. La longueur moyenne d'une spire sur le noyau choisi étant de 120 mm, il faut environ 7,6 m soit une résistance de 0,21 W.

Au secondaire S₂ = 13,5 /4 = 3,4 mm^² soit un diamètre D₂ = 2,1 mm, valeur supérieure à 2.d; il faut donc prendre du fil de Litz. On peut choisir un fil formé de 60 brins de diamètre 0,28 mm donnant une section de 3,7 mm^²; le diamètre extérieur du fil est de 3,2 mm et sa résistance 4,7 m.W par mètre. La longueur moyenne d'une spire sur le noyau choisi étant de 120 mm, il faut environ 1m soit une résistance de 4,7 mW.

L'enroulement de démagnétisation a une section S₃ = 0,27 /4 = 0,068 mm^² soit un diamètre D₃ = 0,29 mm; on peut prendre du fil monobrin de diamètre 0,315 mm.

Calculons la section totale des bobinages : au primaire 1,39 x 63 = 88 mm², au secondaire 8,1 x 8 = 65 mm² et pour l'enroulement de démagnétisation 0,078 x 63 = 5 mm² soit au total 158 mm² pour une fenêtre de 175 mm².

En bobinant simultanément primaire et enroulement de démagnétisation et en soignant le bobinage, on devrait pouvoir réaliser le transformateur.

Ø      Étape 6 :

v     Étape 6.1 calcul de l'inductance :  donne L>758 µH; prenons L=80 µH.

v     Étape 6.2  choix du circuit magnétique : le courant maximal dans l'inductance étant

I_max = I_s+Di/2 = 21 A , l'énergie magnétique à stocker dans le circuit est L.I_max^²/2 = 18 mJ soit L.I_max^² = 36 mJ. On choisit un noyau EC 70x34x17 avec A_L = 200 nH (Cf caractéristiques en annexe 2).

v     Étape 6.3 calcul du nombre de spires et de l'entrefer : n = 20 ; n.I_max = 420 A.t .

L'entrefer est de 2 mm et la saturation a lieu pour 400 A.t valeur trop faible.

Si on prend un entrefer de 3 mm, AL = 150 nH; il faut alors 23 spires soit n.I_max = 483 A.t et le circuit en autorise 500.

v     Étape 6.4 calcul du bobinage : I est de l'ordre de 20 A soit une section de 5 mm^². On prend du fil de Litz de 100 brins de diamètre 0,28 mm. Le diamètre du fil est de 4,2 mm et sa résistance de 2,7 mW par mètre. La section du bobinage est de 320 mm² pour une fenêtre de 464 mm². La longueur moyenne des spires étant de 96 mm, il faut 2,2 m soit une résistance de 6 mW.

Ø      Étape 7 : les pertes magnétiques sont de 10 W; les pertes par effet Joule dans le transformateur se calculent avec les résistances et les intensités efficaces déterminées ci-dessus; on obtient environ 2 W; les pertes dans l'inductance sont environ de 10 W dans le fer et de 2,4 W dans le cuivre.

Au total on a 10 % de pertes dans les circuits par rapport à la puissance de sortie. On a autorisé 25 %; même en comptant les pertes dans les interrupteurs, cela devrait convenir

Ø      Étape 8 : on doit choisir la valeur du condensateur  C > Di/8.f. DVs Soit C > 17 µF; on pourra prendre C = 22 µF / 15 V.

Pour K, la tension maximale à l'état bloqué est  V_kmax = E(1+1/m')= 2.E= 780 V et le courant maximal à l'état passant est I_1max =3,5 A. On peut prendre un transistor MOS type BUZ50 A 1000 V / 5 A.

Le courant moyen dans D1 est donc de l'ordre de a.I_s = 9 A avec une valeur crête 21 A; à l'état bloqué, elle supporte m.E/m' = 50 V; on peut prendre une diode Schottky MBR20100CT 100 V / 20 A.

Le courant moyen dans D2 est donc de l'ordre de (1-a.I_s) = 11 A  avec une valeur crête 21 A et une tension de blocage m.E = 50 V; on peut prendre la même référence que pour D1.

Le courant moyen dans D3 est donc (b-a).I_µmax/2 =  76 mA et le courant crête est I_µmax = 290 mA; au blocage elle doit supporter 2.E = 780 V; on prendra une diode rapide BYT25 M 1 000 V / 890 mA.

 

6 influence des inductances de fuites

On peut modéliser l'alimentation suivant le circuit ci-dessous dont les équations sont :

On supposera négligeable l'ondulation du courant dans l'inductance du filtre i = I_s = Cste.

6.1 Étude sans circuit d'aide à la commutation

Le condensateur C' est supposé débranché.

A l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur K; celui-ci impose la pente de décroissance du courant: (7) ; à cet instant le courant magnétisant est maximal ainsi que le courant i₂ = I_s; le courant i₃ est nul. Tous ces courants ne peuvent être discontinus en raison des inductances.

L'analyse du circuit montrent que les trois diodes conduisent en 0⁺ donc v_d1 = v_d2 = v_d3 = 0. Des équations (5), (6) et (7), nous tirons ; en dérivant cette équation et en remplaçant les dérivées de i₂, i₃ et i_µ par les expressions tirées de (4), (1) et (3), il vient : .

Reprenons les valeurs numériques de l'exemple du paragraphe 5.3 avec des inductances de fuites ramenées au primaire égales à 1 % de L_µ; on a E = 390 V ;

L_f1 =L_f3 =60 µH ; L_f2=1 µH; I_1max = 2,9 A et I_µmax = 0,29 A; supposons t_off = 100 ns.

On obtient e₁ = -1 077 V et v_k = 3 207 V.

Les courant i₂ et i_µ diminuent; on a d'abord blocage de D1 pour i₂ = 0 puis de D3 pour i_µ =0.

Il est inutile de détailler le calcul; on voit que l'interrupteur K, calculé pour une tension de blocage de 780 V subit une surtension telle qu'il est détruit.

6.2 Étude avec circuit d'aide à la commutation

On place un condensateur C' en parallèle sur l'interrupteur. Au blocage de K, on a plusieurs phases.

Aux équations ci-dessus, on ajoute (8) i₁ = i_k+j et (9) j = C'.dv_k/dt.

Ø      Première phase : blocage de K ; on suppose que le temps d'ouverture de K est suffisamment faible pour que les tensions et les courants du transformateur n'évoluent pas, le temps de transférer la conduction de i₁ de K à C'.

Ø      Deuxième phase : mise en conduction de D2 ; l'analyse montre qu'à t = 0⁺, j = I_1max, i_k = 0; 

i₂ = I_2max. D2 reste bloquée tant que v₂ > 0 et D3 tant que m'.e₁ > -E.

Si on néglige l'ondulation du courant dans l'inductance du filtre de sortie, i₂ = I_s et i_1t =m.I_s et

i_µ = i₁-i_1t = j-m.I_s.

La solution générale est de la forme v_k = E+A.cos(w.t)+B.sin(w.t); nous en déduisons

j = C'. w [B. cos(w.t) - A. sin(w.t)]; avec v_k(0) = 0 et j(0) = I_1max, nous obtenons :

D2 conduit pour v₂ = 0 soit e₁ = 0 soit à l'instant t₁ tel que tg(w.t₁)= C'.w.E/I_1max.

En général, cette phase est de durée telle que le courant i₁ n'a quasiment pas varié.

On a donc

Ø      Troisième phase : mise en conduction de D3; posons t' = t -t₁; à partir de t' = 0, D1 et D2 conduisent, D3 est bloquée; on a donc v₂ = 0  et un courant secondaire décroissant : m.e₁ = L_f2.di₂/dt ; 

i_µ = i₁-m.i₂ donne ;

en reportant dans (2), il vient

Avec

La solution générale est de la forme v_k = E+A'.cos(w'.t')+B'.sin(w'.t'); nous en déduisons j = C'. w' [B'. cos(w'.t') - A'. sin(w'.t')]; avec v_k(0) = E et j(0) = I_1max, nous obtenons :

Si on considère que L'_f2 << L_µ, il vient e₁ = -L'_f2.w'.I_1max sin w'.t' ; i₂ =(I_1max /m)cosw'.t'.

D1 se bloque pour i₂ = 0 et D3 devient conductrice pour e₃ = m'.e₁ = -E. En charge, la troisième phase se termine par la mise en conduction de D3 en t'₂ tel que :

 sinw'.t'₂=E/m'.L'_f2.w'.I_1max.

A cet instant :

Ø      Quatrième phase : D1,D2 et D3 conduisent à t'₂⁺; posons t" = t'-t'₂;

de (5), (6) et (9), nous tirons ; avec (1), (3) et (4), nous en déduisons : ; posons L'_f3 = L_f3/m'^² et négligeons L'_f2 et L'_f3 devant L_µ, il vient : ; posons

.

Avec les conditions initiales en t" = 0, nous obtenons tous calculs faits :

La tension v_k est maximale pour j =C'.dv_k/dt = 0 soit en t"₃ tel que:  tg(w".t"₃)=i₁(t₂).m'.L'_f2.w"/E.

Pour réduire la surtension, il faut augmenter la capacité C" et avoir une inductance de fuites primaire la plus faible possible en plaçant l'enroulement primaire près du circuit magnétique; pour diminuer L_f3, l'enroulement de démagnétisation est bobiné en même temps que l'enroulement primaire.

6.3 Exemple

Reprenons l'alimentation calculée au paragraphe 5.3.

Prenons L_f1=L'_f3 = 10 µH et L'_f2 = 50 µH. Nous avons E = 390 V, I_1max = 2,9 A et L_µ =6 mH.

Si nous voulons que la phase 3 se termine par la mise en conduction de D3, nous devons avoir sinw'.t'₂=E/m'.L'_f2.w'.I_1max< 1 soit ; prenons C' = 1 nF.

Nous avons w = 408.10³ rd/s ; t₁ = 134 NS ; v_k(t₁) = 390 V et i₁(t₁) = 2,9 A; w' = 4,08.10⁶ rd/s ; t'₂ = 176 NS ; v_k(t'₂) = 858 V et i₁(t'₂) = 2,18 A

L_ft = 18,3 µH ; w" = 7,39.10⁶ rd/s ; t"₃ = 152 NS ; v_kmax = 900 V; i₁ s'annule en t" = 270 NS

En négligeant les inductances de fuites, la tension maximale aux bornes de K était de 2.E soit 780 V; les inductances de fuites créent une surtension de 120 V.

 

7 démagnétisation âr circuit R-C

7.1 Principe

Pour les alimentations de petite puissance, on peut simplifier la construction en supprimant l'enroulement de démagnétisation et en le remplaçant par le montage R-C-D de la fig5.

Lorsque K est fermé, v₁ = E donc D est bloqué et C se décharge dans la résistance R.

A l'ouverture de K, le courant magnétisant est maximal; la décroissance de iµ donne une tension v1 négative donc D conduit; l'énergie magnétique stockée dans le transformateur va recharger le condensateur C.

7.2 Étude du circuit

A t = 0^-, K est ouvert et le transformateur est démagnétisé.

A t = 0 on ferme K; à t =0⁺, v = V_o et i_µ = 0.

Pour t > 0, on a v_k = 0 donc v₁ = L_µ.diµ/dt = E soit i_µ = E.t/L_µ.

D est bloquée donc j = C.dv/dt = - v/R; nous en déduisons v = V_o.exp(-t/t) avec t = RC.

En t = a.T^-, nous avons i_µ = I_µmax = E.a/L_µ.f et v = V_min = V_o.exp(-a.T/t).

A t = a.T, on ouvre K; posons t' = t- a.T. En t' = 0⁺, D conduit i₁ = I_µmax et v = V_min.

v = -v₁ = -L_µDiµ/dt ; I_µ = j+v/R ; j = C.dv /dt. en dérivant la deuxième équation, on obtient

L'équation caractéristique est x^²+2.z.w_o.x+w_o^² = 0 de déterminant réduit D'= w_o^² (z^²-1); pour démagnétiser complètement le transformateur, nous devons nous placer en régime oscillant amorti soit avoir z < 1; en posant w = w_o^² Ö(1-z^²), il vient :

v(0) = A = V_min ; j(0) = I_µmax -V_min/R = C(Bw-Azw_o).

La phase de démagnétisation se termine pour i_µ = 0.

Le calcul complet est complexe car on ne connaît pas les valeurs initiales de v et il faudrait procéder de proche en proche en partant de l'état v = 0 à la mise sous tension du montage.

L'interrupteur K doit supporter la tension maximale E+v_max.

7.3 Calcul des composants

Plus la résistance R sera faible, plus l'amortissement sera grand donc plus la surtension sera faible aux bornes de K

En pratique on peut prendre un coefficient d'amortissement z de l'ordre de 0,5.

Le temps de démagnétisation est de l'ordre de 10 % de la pseudo-période T' = 2.p/w; ce temps doit être inférieur à (1-a_max).T pour que la démagnétisation soit complète.

Connaissant a , f et L_µ, on peut calculer T' et en déduire la valeur maximale de C; le coefficient d'amortissement permet alors de calculer R.

La résistance R doit dissiper à chaque période l'énergie magnétisante; on en déduit P_R = L_µ.I_µmax^².f/².

7.4 Exemple

Soit une alimentation E = 24 V ; vs = 5 V ; I_s = 2 A fonctionnant à la fréquence f = 25 kHz avec un rapport cyclique maximal de 50 %.

Si on prend un rendement h = 75 %, le courant moyen en entrée est I_1moy = V_s.I_s/h.E = 0,56A

Le courant primaire maximal est I_1max = I_1moy / a = 1,12 A; le courant magnétisant maximal est de l'ordre de 10 % de cette valeur soit I_µmax = 0,12 A. L'inductance magnétisante est L_µ=E.a/f.I_µmax = 4 mH.

Le temps de démagnétisation doit être inférieur à 20 µs soit T' < 200 µs et w = 2.p/T' > 32.10³ rd/s. w = w_o^² Ö(1-z^²) avec z = 0,5 donne w_o > 43.10³ rd /s ; L_µ.C < 1/w_o^² donne C <  135 nF.

Prenons C = 100 nF ; R = 200 W  de puissance 0,72 W soit 1 W.

Annexe 1

Caractéristiques du circuit GER42x21x20 ( document LCC)
	Paramètres magnétiques pour un circuit ( 2 noyaux) Facteur de perméance c = 3 nH Longueur effective Le = 97 mm Section effective Ae = 233 mm² Volume effectif Ve = 22 -00 mm3 Masse : 120 g
Inductance spécifique sans entrefer : AL = 6 500nH Perméabilité effective : µe = 2 170 Perméabilité d'amplitude à 320 mT : µa > 1 000
Carcasse : Surface mini pour le bobinage : Sb = 175 mm² Longueur spire moyenne : Lb = 100 mm

 

Annexe 2

Caractéristiques du circuit EC 70x34x17 ( document LCC)
	Paramètres magnétiques pour un circuit ( 2 noyaux) Facteur de perméance c = 2,45 nH Longueur effective Le = 144 mm Section effective Ae = 279 mm² Volume effectif Ve = 40 000 mm3 Masse : 252 g
Inductance spécifique sans entrefer : AL = 5 000 nH Perméabilité effective : µe = 2 040 Perméabilité d'amplitude à 320 mT : µa > 1 000
Carcasse : Surface mini pour le bobinage : Sb = 464 mm² Longueur spire moyenne : Lb = 96 mm