1 Alimentation de type buck

1.1        Principe

L'alimentation est construite avec une structure de hacheur série; pour obtenir une tension continue aux bornes de la charge, on ajoute un condensateur de filtrage. 

 

1.2        Étude en conduction permanente

On suppose la conduction ininterrompue dans l'inductance L soit i > 0. Dans ce cas, K conduit de 0 à a.T donc u = V et D conduit de a.T à T donc u = 0.

La tension u(t), tension en créneau de période T et de rapport cyclique a, est donc indépendante de la charge. Nous pouvons utiliser la méthode harmonique en décomposant la tension en série de Fourier sous la forme :  et en appliquant le théorème de superposition.

Ø      pour la composante U = a.V, on est en régime permanent continu; L se comporte comme un court-circuit et C comme un circuit ouvert. Il vient I = I' = a.V /(R+r) ; J=  et U' = a.V.R /(R+r)

Ø      pour la composante sinusoïdale de fréquence n.f : avec , nous pouvons utiliser la méthode complexe. A u_n nous associons ; le dipôle R - C a pour impédance complexe   ; la charge alimentée par u_n a pour impédance totale : .

Nous en déduisons , ; .

Pour obtenir les développements en série de Fourier de i, u' et j, il suffit d'ajouter les composantes obtenues :  et de même pour les autres grandeurs.

Ces formules permettent le calculs de toutes les grandeurs  mais sont assez difficiles à exploiter.

Le but de ce montage étant d'obtenir aux bornes de la charge une tension continue variable, le filtre L - C doit atténuer fortement les harmoniques; nous pouvons alors nous placer dans l'hypothèse du premier harmonique, c'est à dire ne retenir dans le développement que le terme continu et le fondamental.

Nous avons alors .

Les ondulations crête à crête sont Di = 2.I_1max et Du' = 2.U'_1max .

La condition de conduction permanente devient alors : I > I_1max .

1.3 Calcul simplifié en conduction permanente

La méthode harmonique décrite au paragraphe précédent ne permet pas de choisir simplement les composants pour des caractéristiques données de l'alimentation.

Nous pouvons simplifier les relations en séparant les calculs des grandeurs i et u'.

Ø Supposons d'abord que l'ondulation de u' est négligeable; u' est assimilée à une tension continue

U' = a.V.R/(R+r). Le montage est alors celui du hacheur série, chargé par un dipôle E - r - L étudié au chapitre 3.2. Si nous supposons de plus que la constante de temps L / r est très grande devant la période, nous savons que l'ondulation du courant dans la charge est Di = a.(1-a)V/L.f. La condition de conduction permanente est I > Di / 2.

Le courant moyen dans un condensateur étant nul en régime périodique, nous avons

I = I' = U' / R = a.V/(R+r).

La condition de conduction permanente est donc a.V/(R+r) > a.(1-a)V/2.L.f soit a > 1-2.L.f/(R+r)

Ø   Étudions maintenant la tension u' en supposant que l'ondulation de i' est négligeable devant celle de i; nous avons alors i' = I' = I et j = i - i' = i - I ; le courant dans le condensateur est donc égal à l'ondulation di(t) du courant dans l'inductance (fig.2).

Sur l'intervalle [0 ; a.T], nous avons di(t) = ; nous en déduisons :

.

Sur l'intervalle [a.T; T], nous avons en posant t' = t-a.T : di(t') = ; nous en déduisons : ;

la tension u' étant continue en t = a.T, nous en déduisons A = B. La tension u' est extrémale pour

du' = 0 soit di = 0; elle est croissante pour di > 0 donc de a.T à (1- a).T/2 et décroissante de 0 à a.T/2. Nous avons donc :

L'ondulation crête à crête est

L'ondulation est maximale pour a = 0,5 et vaut alors V/32.L.C.f^².

 

1.4        Calcul simplifié en conduction discontinue

Le plus souvent, nous cherchons à rester en conduction continue qui donne une tension moyenne

U' = a.V.R/(R+r) quasi indépendante de la charge si R >> r.

Pour de faibles débits dans la charge, nous devons envisager l'hypothèse de la conduction discontinue. Le calcul direct est alors complexe, la méthode harmonique ne pouvant être appliquée puisque la tension u(t) dépend de la charge, étant égale à u' lorsque i = 0. Il faudrait résoudre une équation différentielle du second ordre pour obtenir u' et le calcul des constantes d'intégration est difficile.

Nous pouvons utiliser une méthode simplifiée en supposant L / r >> T. Si nous négligeons l'ondulation de la tension u', nous sommes alors dans les conditions du fonctionnement d'un hacheur série débitant sur une charge E - r - L avec E = U'.

Si nous reprenons les équations obtenues au chapitre 3.2, nous avons :

I_max = (V-U').a/L.f, I = b.I_max/2 et b = a+L.f.I_max/(r.I_max+U'). Nous avons en valeurs moyennes

I = I' = U'/R. Si nous négligeons la résistance r de la bobine, en éliminant I_max, I et b, il vient :  

;

nous en déduisons U' puis I = U'/R, I_max = (V-U').a/L.f et b = 2.I/I_max.

1.5        Calcul des composants

Nous nous fixons la tension d'alimentation V, la fréquence de découpage f , la plage de valeurs de la charge : R_min £ R £ R_max  et la valeur maximale de l'ondulation de u'.

Pour rester en conduction permanente, nous devons avoir a > 1-2.L.f/(R+r); si nous négligeons r devant R, cette condition sera satisfaite quel que soit le rapport cyclique si 2.L.f/R > 1 soit L > R/2.f; nous choisirons donc L > R_max /2.f.

L'ondulation maximale de la tension étant Du'_max = V/32.L.C.f^². soit C = V/32.L.f^². Du'_max

Le courant maximal dans l'inductance est V/R_min.

L'interrupteur K et la diode D doivent pouvoir conduire ce courant et bloquer la tension V.

1.6        Exemple

Prenons V = 24 V ; f = 25 kHz ; R_min = 10 W ; R_max  = 1 000 W ; Du'_max = 0,1 V.

Nous en déduisons L > 20 mH ; prenons L = 25 mH. C = 0,48 µF , prenons C = 1 µF.

Nous devons vérifier que la fréquence de résonance du circuit LC, f_o = 1/2.p.Ö(LC) est inférieure à la fréquence de découpage pour que le circuit ne puisse pas osciller. Avec les valeurs choisies f_o =1 kHz, donc les composants conviennent. Supposons que la résistance de la bobine soi r = 2 W.

Ø      Prenons a = 45 % et R = 10 W. Calculons les expressions des grandeurs par la méthode harmonique :

Nous constatons que l'amplitude des harmoniques de i et u' diminuent rapidement lorsque le rang augmente. Sur la fig.3, nous traçons les ondulations de i et u'; en trait plein, on a pris en compte les 20 premiers harmoniques et en trait pointillé, uniquement le fondamental. L'écart entre les graphes est faible ( moins de 1 mA pour di et moins de 2 mV pour du').

Ø      Prenons maintenant R = 10 W et étudions les variations des grandeurs en fonction du rapport cyclique. Nous ne prenons en compte que le premier harmonique de i et u'.

Le tableau ci-contre donne les résultats :

 

Pour a = 50 %, les formules du calcul approché donnent : Du' = V/32.L.C.f^² = 48 mV ;

Di = V/4.L.f = 9,6 mA.

Le calcul par la méthode du premier harmonique donne des valeurs plus faibles de 15 % pour la tension et de 24 % pour le courant.

Ø      Prenons a = 50 %, et faisons varier la résistance de charge; nous obtenons les résultats du tableau ci-dessous :

La tension moyenne U' varie avec la charge; l'alimentation se comporte comme un générateur de f.é.m U = a.V = 12 V et de résistance interne r = 2 W.

Les ondulations crête à crête sont quasi indépendantes de R, comme le montrent les formules approchées.

1.7        Alimentation régulée en tension

La tension moyenne de sortie et son ondulation crête à crête dépendent du réglage du rapport cyclique mais aussi de la charge et de la tension d'alimentation. Si nous voulons rendre U' quasi indépendante de ces paramètres, nous devons envisager une régulation de tension.

Un manière de réaliser cette régulation est de commander différemment l'interrupteur K.

Lorsque K est fermé, la charge reçoit de l'énergie de la source et la tension u' augmente de U'-Du'/2 à U'+Du'/2. Lorsque K est ouvert, C se décharge dans R et la tension u' diminue. Si nous comparons l'image k.u' de la tension de sortie à la consigne image k.U' de la tension moyenne, avec un trigger d'hystérésis  Du', nous pouvons avoir une tension u' égale en valeur moyenne à la consigne divisée par k et ayant une ondulation crête à crête fixe. Lorsque u' = U'-Du'/2, la sortie S1 passe au niveau haut ainsi que la sortie S2 et on commande la fermeture de K. La tension u' augmente jusqu'à U'+Du'/2, les sorties S1 et S2 passent à l'état bas et S3 à l'état haut, commandant l'ouverture de K. La fréquence et le rapport cyclique ne sont plus alors imposés par la commande mais par la charge. Comme on impose U' = a.V.R/(R+r), on a un rapport cyclique a = U'.(R+r) /V.R ; comme on impose l'ondulation crête à crête Du' =a.(1-a).V/8.L.f², pour a fixé, la fréquence est imposée.

Si nous reprenons l'exemple du paragraphe précédent; pour avoir U' = 12 V et Du' = 0,1 V pour toute valeur de R, on aura :

v     pour V = 24 V et R = 10 W : a = 60 % et f = 16,97 kHz

v     pour V = 20 V et R = 10 W : a = 72 % et f = 14,20 kHz

v     pour V = 24 V et R = 100 W : a = 51 % et f = 17,32 kHz

 

2 alimentation de type boost

2.1        Principe

On utilise la structure du hacheur élévateur: une source de tension E est placée en série avec une inductance L de résistance r. La charge est formée d'une résistance R en parallèle avec un condensateur de filtrage C.

L'interrupteur K est commandé à la fréquence f avec le rapport cyclique a. De 0 à a.T, K est fermé et D est bloquée, on accumule de l'énergie magnétique dans L et la condensateur C alimente la charge. De a.T à T, K est ouvert; l'énergie accumulée dans L permet de charger C sous une tension supérieure à la f.é.m E.

2.2 Calcul simplifié

Nous supposons que la constante de temps R.C est suffisamment grande devant la période T pour que l'ondulation de u soit négligeable donc u(t) = U = Cste. Nous négligeons également la résistance r de l'inductance. Nous nous plaçons de plus en régime de conduction continue.

Les équations du circuit sont j = i_d+i_k ; i_d = i+i' ; v+L.dj/dt = E ; i = u/R et i' = C.du/dt.

Etudions le régime permanent :

v     0 < t < a.T : K est fermé donc v = 0 et D est bloquée donc i_d = 0; dj/dt = E / L donne

j = E.t/L+A; durant cette phase de court-circuit de la source j augmente donc j(0) = J_min = A.

A la fin de cette phase le courant est maximal; nous en déduisons l'ondulation du courant source

Dj = J_max - J_min = a.T.E/L.

v     a.T < t < T : K est ouvert et D conduit pour assurer la continuité de j donc

v = U et L.dj / dt = E - U < 0; en posant t' = t- a.T, il vient j(t') = (E-U).t'/L+B avec j(t'=0) = J_max, nous en déduisons j = J_max + (EU).t'/L.

La fig.7 donne l'allure des grandeurs :

Calculons les valeurs moyennes :

V = (1-a).U ; or v = E+ L.dj/dt , la tension moyenne aux bornes d'une inductance étant nulle en régime périodique, nous en déduisons V = E soit U = E/(1-a). Le rapport cyclique variant de 0 à 1, la tension aux bornes de la charge varie de E à l'infini.

J = (J_max+J_min)/2. et I_d = (J_max+J_min). (1-a)/2 = J. (1-a).

Le courant moyen dans un condensateur étant nul en régime périodique, I = U/R = I_d soit J. (1-a)=E/R. (1-a); nous en déduisons J = E/R. (1-a)^². Lorsque le rapport cyclique tend vers 1, le courant source tend vers l'infini.

Les résultats obtenus montrent les limites des hypothèses de départ. Lorsque a= 1, l'ondulation de j devrait être maximale avec une valeur moyenne J tendant vers l'infini. Or, dans ce cas, K est fermé en permanence; en régime permanent, L est un court-circuit donc j = E/ r = Cste et l'ondulation est nulle. Les résultats approché seront d'autant plus proches de la réalité que le rapport cyclique sera faible.

Nous n'avons envisagé que le régime de conduction continue, le plus souvent utilisé.

La condition nécessaire est suffisante de conduction permanente est J_min > 0 soit J > Dj/2. Avec les résultats obtenus, nous en déduisons E/R. (1-a)^²> a. E/2.L.f soit a.(1-a)^² < 2.L.f/R

La fonction y = a.(1-a)^²  a pour dérivée y'=3. a^² -4. a + 1 =(3. a-1)(a-1); la dérivée s'annule pour  a=1/3 et a=1 et elle est négative entre les racines; la fonction y est donc maximale pour a = 1/3 et vaut alors 4/27; pour rester en conduction permanente pour toute valeur de a, il suffira d'avoir 2.L.f/R > 4/27 soit L.f > 2.R/27.

2.3 Calcul de l'ondulation de u

Nous pouvons avoir une estimation de l'ondulation de la tension u en supposant que la forme d'onde de j(t) n'est pas modifiée par l'ondulation de u et que l'ondulation de i est négligeable devant celle de i'.

De 0 à a.T, D est bloquée donc i' = - i < 0 ; l'équation i' = C.du/dt montre que la tension u diminue durant cette phase. Si nous supposons i constant, nous avons : C.du/dt= -I soit u = A-i.t/C.

De a.T à T, D est passante en conduction permanente; l'énergie stockée dans L est transférée à la source donc u croît. La tension u est donc maximale en t = 0 et minimale en t = a.T; l'ondulation crête à crête est Du = u(0)-u(a.T) = A - (A-a.T.I/C) soit Du  = a.T.I /C; avec I = U/R=E/(1-a).R, il vient Du = a.E/[(1-a).R.C.f]

Si nous tenons compte de la résistance r de la branche source, en négligeant l'ondulation de u, nous sommes ramenés à l'étude faite au chapitre 3.3. Si nous utilisons la calcul simplifié en supposant

t = L/r >> T , nous pouvons utiliser les résultats du chapitre 3.3 : V = (1-a).U ; I_d = U/R = (1-a).J ;

l'équation de la source E-r.j-L.dj/dt = v donne en valeurs moyennes V = E-r.J  soit

E = (1-a).U+r.U/(1-a).R ; nous en déduisons ; si r << R(1-a)^², nous retrouvons la formule simplifiée du paragraphe 2.2; cette hypothèse sera en général valable pour a faible mais ne pourra jamais être validée pour a tendant vers 1.

Pour R fixée, U n'est fonction que de a : ; le rapport cyclique n'intervient qu'au dénominateur formé par la somme de deux termes donc le produit r.R ne dépend pas de a; le dénominateur est minimal, donc U est maximale, lorsque ces deux termes sont égaux soit 1- a = Ö(r/R) et la valeur maximale de U est E. Ö(R/4.r).

Si nous calculons l'ondulation de u comme au paragraphe précédent, nous obtenons :

; l'étude de la dérivée montre que, pour un montage donné, cette ondulation est maximale pour r(1-2.a)+R(1-a)^² = 0.

2.5        Exemple

Donnons nous E = 12 V et une charge R variant de 25 à 100 W. Nous voulons une tension de sortie moyenne pouvant atteindre 50 V en valeur moyenne et d'ondulation Du  = 1 V au maximum.

Calcul des composants

La tension moyenne maximale E. Ö(R/4.r) doit atteindre 50 V dans les conditions les plus défavorables donc pour R = 25 W. Nous en déduisons la valeur maximale de r : r < 0,36 W; nous prendrons r= 0,2W.

Si nous voulons être toujours en conduction permanente, nous devons avoir L.f > 2.R/27. Si nous fixons la fréquence de découpage à f = 20 kHz, nous devrons avoir, dans le cas le plus défavorable

R = 100 W, L > 0,37 mH; prenons par exemple L = 1 mH.

L'ondulation est maximale lorsque R est minimale; pour R = 25 W, la résolution de l'équation

r(1-2.a)+R(1-a)^² = 0, donne a = 91,82 % et Du = 1,23.10^-4/C; pour avoir une ondulation inférieure à 1 V, nous devons donc avoir C > 123 µF; nous prendrons C = 150 µF.

 

étude à charge constante

Fixons la résistance de charge à R = 25 W et étudions les grandeurs à rapport cyclique variable; nous  faisons la calcul par la méthode approchée en négligeant r et en tenant compte de la résistance. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :

Sur la fig.8, nous avons tracé la tension moyenne U en fonction du rapport cyclique, en trait plein la valeur obtenue par le calcul direct et en pointillés la valeur approchée; nous constatons que les résultats sont quasi identiques pour a < 60 % puis divergent fortement.

étude à charge variable

Fixons a = 50 % et faisons varier la charge de 25 à 100 ohms. nous obtenons les résultats ci-dessous:

 Les deux méthodes donnent des résultats quasi identiques. L'alimentation se comporte vis à vis de la charge comme une source de tension continue de f.é.m 24 V et de résistance interne 0,8 W.

3 alimentation à absorption sinusoïdale de courant

3.1        Alimentation continue sans découpage

Le moyen le plus simple et le plus couramment utilisé pour réaliser une alimentation continue à partir du réseau est de redresser une tension alternative et de filtrer la tension obtenue par un condensateur.

Le montage ci-dessus en donne un exemple. u_s, R_s et L_s modélisent le transformateur d'alimentation vu du secondaire. Pour une tension efficace U_s = 14 V , analysons le fonctionnement à partir d'une simulation sous Spice :

v     aux bornes de la charge R,  on obtient une tension u de valeur moyenne U = 15 V et d'ondulation crête à crête Du = 2 V. Le courant moyen dans la charge est I = 2 A. La puissance fournie à R est

P_u = 30,5 W, légèrement supérieure à U.I en raison de l'ondulation des grandeurs.
v     la source sinusoïdale u_s débite le courant i_s ayant la forme donnée par la fig.10.

Ce courant alternatif a pour valeur crête I_smax = 8,76 A et pour valeur efficace I_s = 3,7 A.

La puissance active fournie est P_a = (u_s.i_s)_moy = 38,7 W ; le rendement est donc h = P_u / P_a = 78,8 % ; les pertes proviennent pour une moitié de la résistance R_s et pour l'autre moitié des diodes.

La puissance apparente fournie est S = U_s.I_s = 51,8 VA.

Le facteur de puissance est F_p = P_s / S = 0,75 ; cette faible valeur est due aux harmoniques du courant; la décomposition en série de Fourier donne leur amplitude I_snmax .

En valeur efficace I_s1 / I_s = F_p ; en effet, la tension u_s étant sinusoïdale, seul le fondamental du courant peut créer de la puissance active.

La puissance déformante, ne prenant en compte que les harmoniques de rang supérieur à 1, est ici :   .

Les harmoniques d'amplitude importante créent une pollution des réseaux de distribution. Pour limiter les effets néfastes de ces phénomènes, l'UTE a établi pour les charges consommant moins de 16 A, une norme donnant pour chaque rang la valeur à ne pas dépasser :

par rapport à la puissance active absorbée	dans l'absolu, quelle que soit la puissance

 

La fig.11 représente les harmoniques de i_s et les limites de la norme; on voit que le redresseur étudié ne répond pas du tout à la norme.

3.2 Alimentation avec hacheur en tête

Si nous voulons obtenir un courant en ligne quasi sinusoïdal pour répondre à la norme, nous pouvons intercaler un hacheur élévateur entre le redresseur et la charge :

Le courant i_s fourni par la source est égal en valeur absolue au courant j à la sortie du redresseur. Nous voulons un courant source sinusoïdal et en phase avec u_s =U_s.Ö2.sin(w.t) pour avoir un facteur de puissance égal à 1; nous prélevons la tension u_r = |u_s| en sortie du pont et avec le circuit CI1 nous filtrons les parasites de cette tension et nous créons un courant i_ref =I_ref.Ö2.|sin(w.t)|; le courant j du hacheur est comparé à ce courant par le comparateur à hystérésis CI2 .

Le transistor T du hacheur est commandé suivant le mode fourchette de courant. Lorsque j atteint la valeur i_ref - Dj/2, T est saturé et le courant j augmente jusqu'à i_ref + Dj/2; à cet instant CI2 bascule et bloque T; le courant j décroît jusqu'à i_ref - Dj/2 (fig.13).

Le hacheur étant survolteur, la tension de sortie u sera en valeur moyenne, supérieure à la tension d'entrée. Prenons U_s = 14 V comme au paragraphe 3.1 et U = 30 V; si nous gardons la même puissance de sortie P_u = 30 W, nous aurons I = 1 A et R = 30 W. Si nous considérons que le rendement est de l'ordre de 80 %, la puissance fournie par la source sera P_a = 37,5 W.

Le facteur de puissance en entrée étant peu différent de 1, nous avons P_a = U_s.I_s  donc I_s = 2,68 A. Le courant I_ref a la même valeur efficace donc une valeur crête de 3,8 A.

Pour choisir l'inductance, nous nous fixons une ondulation crête à crête du courant j de l'ordre de

20 %de la valeur maximale de I_ref soit Dj = 0,75 A.

La tension moyenne de sortie d'un hacheur élévateur est V_s = V_e/(1-a); ici la tension d'entrée est u_r variable, le rapport sera minimal lorsque u_r sera maximale soit 14.Ö2 = 19,8 V; pour une tension de sortie de 30 V, la valeur minimale du rapport cyclique sera de 34 %.

L'ondulation du courant est Dj = a.V_e/L.f', f' étant la fréquence du découpage. Si nous fixons la fréquence de découpage f' = 20 kHz, pour V_e = 19,8 V et a = 34 %, nous obtenons L = 0,45 mH.

Le montage simulé sous SPICE avec ces valeurs donne :

v     en sortie : valeur moyenne U = 28,3 V ; ondulation crête à crête Du = 1,44 V; puissance fournie à la charge P_u = 27 W.

v     en entrée : courant efficace I_s = 2,64 A ; puissance P_a = 37 W. Le facteur de puissance est quasi égal à 1. Le courant i_s comporte un fondamental à f = 50 Hz de valeur efficace 2,64A et des harmoniques négligeables ( moins de 30 mA pour l'harmonique 3).

Théoriquement, on devrait trouver un fondamental à 50 Hz et des harmoniques de rang multiples de la fréquence de découpage; le harmoniques de rang 3,5,7… viennent de la distorsion du courant réel au voisinage de 0.

Calculons la croissance de j durant la fermeture de T : L étant soumise à la tension u_r nous avons L.dj/dt = u_r donc  Dj⁺ = u_r.a/f '.L en considérant que f ' >> f permet de considérer que u_r est constant durant cet intervalle.

Calculons la décroissance de j durant l'ouverture de T : D conduisant, L est soumise à u_r - u durant (1-a).T'; nous en déduisons : Dj^- = (u_r - U).(1-a)/f '.L. Sur une période du hacheur, le courant j a varié en moyenne de dj = Dj⁺ + Dj^- = [u_r - U.(1-a)]/f '.L En moyenne, nous voulons j = i_ref = I_refmax.sin(w.t) soit dj = w. I_refmax.cos(w.t).T'; nous en déduisons le rapport cyclique : ; pour w.t = k.p, nous devrions avoir un rapport cyclique supérieur à 1, ce qui est impossible; il n'y a donc pas de découpage lors de ces instants et le courant j s'écarte de la référence; cette distorsion crée de faibles harmoniques.

Les montages réellement utilisés sont plus sophistiqués; des circuits intégrés spécifiques réalisent toutes les fonctions de commande, y compris la régulation de la tension de sortie ( circuits UC3854 d'Unitrode ou MC34261 de Motorola par exemple).