Électronique de puissance

 

xxxxxxModule 3 : xxxxxxx "Conversion DC - DC "
Chapitre 3.4

 

Hacheurs réversibles

1 Hacheur réversible en courant

1.1        Principe

Le schéma de principe est donné sur la fig.1:

Une source de tension V alimente une charge modélisée par une f.é.m. E en série avec une inductance L et une résistance r. La structure du hacheur est formée de deux interrupteurs réversibles en courant, commandés à l'ouverture et à la fermeture.

v     De 0 à a.T : K est fermé et K' ouvert; nous avons u = V donc D est bloquée et i' = 0; Le courant i = j imposé par la charge passe dans K s'il est positif et dans D s'il est négatif.

v     De a.T à T : K est ouvert et K' fermé; nous avons u = 0 donc D est bloquée et j = 0.

Le courant i’ = -i passe dans D' s'il est positif et dans K' s'il est négatif.

 

La structure fonctionne donc avec i positif ou négatif; la tension u est égale à V ou à 0; elle est donc positive en valeur moyenne; le hacheur est réversible en courant mais pas en tension.

La réversibilité en courant permet la conduction permanente de i pour tout régime de fonctionnement contrairement aux hacheurs non réversibles.

1.2        Calcul direct

L'équation de la charge est u = E+r.i+L.di/dt soit i+t.di/dt =(u-E)/r en posant t = L/r.

Ø      De 0 à a.T, la conduction de K impose u = V; nous en déduisons .

Si i > 0, la structure fonctionne en hacheur dévolteur donc V > E et i est croissant durant cette phase. Si i < 0, la structure fonctionne en hacheur survolteur donc

V > E et i diminue en valeur absolue et augmente en valeur algébrique; nous en déduisons que i(0)=Imin et i(a.T)=Imax.

Il vient : ; en posant X = exp(-a.T/t), nous obtenons :  (Re.1).

Ø      De a.T à T, la conduction de K' impose u = 0; nous en déduisons en posant t' = t-a.T :

; en posant Y = exp[-(1-a).T/t], nous obtenons en régime permanent :  (Re.2).

De (Re.1) et (Re.2), nous déduisons les extremums du courant i :

. L'ondulation crête à crête est , valeur indépendante de la f.é.m E.

La forme d'onde de u est identique à celle du hacheur série donc on retrouve les mêmes relations sur le courant i.

En valeurs moyenne U = E + r.I = a.V.

1.3        Calcul simplifié

Lorsque la constante de temps t = L/r est très grande devant la période T de découpage, le courant i a une forme proche d'un signal triangulaire. Le calcul étant identique à celui du hacheur série en conduction permanente, nous pouvons reprendre les résultats obtenus au Chapitre 3.2, paragraphe 2 :

ondulation crête à crête du courant charge :
extremum du courant : Imax = I + Di/2 et Imin = I - Di/2
valeurs moyennes : U = a.V ; I = (U-E)/r ; J = a.I

La puissance fournie par la source, donc reçue par la charge pour un hacheur idéal, est

P = (v.j)moy = V.J = a.V.I; le signe de cette puissance ne dépend que du signe du courant moyen dans la charge.

La fig.2 donne les formes d'onde de la tension et du courant pour divers régimes. A chaque instant, l'interrupteur conduisant le courant est fixé par la commande et le signe de i :

v     de 0 à a.T, la commande impose K passant ou D passante, K si i > 0 et D si i < 0

v     de a.T à T, la commande impose K' passant ou D' passante, K' si i < 0 et D' si i > 0.

 

 

2 hacheur réversible en tension

2.1        Principe

La structure est donnée par la fig.3 :

 

La charge est modélisée par le circuit E - r - L.

Les quatre interrupteurs étant unidirectionnels en courant, le courant dans la charge ne peut être que positif ou nul.

Ø      De 0 à a.T : K et K' sont fermés; nous avons u = V et j = i ; le courant charge devant être positif, la structure doit fonctionner en survolteur : V > E.

Ø      De a.T à T : K et K' sont ouverts; la continuité du courant i impose la conduction de D et de D'; nous avons donc u = -V et j = -i < 0; la source de tension V doit donc être réversible en courant . Le courant tend vers la valeur de régime permanent -(V+E)/r; cette valeur étant négative et i ne pouvant s'inverser, nous devons examiner deux cas :

vl'énergie emmagasinée dans L durant la phase de transfert d'énergie est suffisante pour que l'intensité reste positive de a.T à T; nous sommes en régime de conduction continue.
v     l'énergie dans L est insuffisante pour assurer la conduction continue; à l'instant t = b.T < T, le courant i s'annule et les diodes se bloquent; de b.T à T, nous avons i = j = 0 et u = E.

 

2.2        Calcul direct

conduction permanente

Ø      De 0 à a.T, nous avons une liaison directe entre source et charge : i = j et V=E+R.i+L.di/dt ; en posant t = L/R, la solution de cette équation est : ; le courant étant croissant sur cette phase, nous avons : i(0)= Imin = A+(V-E)/R; nous en déduisons : .

A la fin de cette phase, nous avons : (Re.5) i(a.T) = Imax = X. Imin +(1-X).(V-E)/R, en posant X=exp(-a.T/t).

Ø      De a.T à T, nous avons une liaison croisée entre source et charge : i = -j et -V=E+R.i+L.di/dt ; en posant t' = t-a.T, la solution de cette équation est : ; la continuité du courant en t' = 0 impose i(t'=0)= Imax = B-(V+E)/R; nous en déduisons : .

A la fin de cette phase t' =(1-a).T , nous avons en régime permanent: (Re.6) i[t'=(1-a).T] = Imin = Y. Imax -(1-Y).(V+E)/R, en posant Y = exp[-(1-a).T/t].

Les équations (Re.5) et (Re.6) permettent de calculer les extremums de l'intensité :

Nous en déduisons l'ondulation crête à crête du courant :

La fig.4 donne l'allure des graphes :

 

Calculons les valeurs moyennes des grandeurs. La tension u est une tension en créneau; nous avons : U = (2.a-1)V.

La tension charge moyenne est positive pour a > 0,5 et négative pour a < 0,5.

L'équation de la branche courant donne I = (U-E)/R.

Cherchons la condition de conduction permanente :

v     Le hacheur n'étant pas réversible en courant i(t) > 0 donc I > 0 soit U > E; nous en déduisons une condition nécessaire : a > (E+V)/2.V.

v     La condition nécessaire et suffisante de conduction permanente est Imin > 0 soit avec (Re.7) 2.Y-1-X.Y > (1-X.Y).E; comme X.Y = exp(-T/t) ne dépend pas du rapport cyclique, nous en déduisons  Y > [1+X.Y+(1-X.Y).E]/2 soit

conduction discontinue

Lorsque la condition ci-dessus n'est pas satisfaite, le courant i s'annule avant la fin de la période donc i(0)= Imin = 0.

Ø      De 0 à a.T, nous avons le même fonctionnement qu'en conduction continue; nous en déduisons

u = V, ; le courant maximal est Imax = (1-X).(V-E)/R.

Ø      De a.T à b.T, les diodes D et D' conduisent : u = - V et j = - i. La solution est identique à celle de conduction permanente : .

Le courant dans la charge s'annule en t = b.T soit en t' = (b-a).T; nous en déduisons l'expression de b : .

Ø      De b.T à T, le courant est nul donc u = E.

La fig.5 donne l'allure des grandeurs :

 

Calculons les valeurs moyennes: U = (2.a-b).V+(1-b).E et I = (U-E)/R

2.3        Calcul simplifié

Lorsque la constante de temps t = L/R est grande devant la période T, nous pouvons considérer que le courant i a une forme triangulaire.

conduction permanente

Dans ce cas, l'ondulation crête à crête du courant Di est petite devant la valeur moyenne I; nous pouvons donc confondre R.i(t) avec R.I; pour 0<t<a.T, nous en déduisons

V = E+R.I+L.di/dt. Avec I = (U-E)/R et U=(2.a-1).V, il vient L.di/dt = V-E.R.I = (2.a-1).V. Le courant étant triangulaire, di/dt = Di / Dt = Di /a.T soit

Di =2.a.(1-a).V/L.f; Nous obtenons une forme semblable à celle du hacheur série avec une ondulation deux fois plus forte de courant due à une ondulation deux fois plus forte de la tension u.

Nous avons I=(Imax+Imin)/2 soit Imin=I- Di/2 et Imax = I+ Di/2.

Le courant moyen dans la source est .

La puissance fournie par la source est P = (v.j)moy =(2.a-1).V.I. V et I étant positifs, la puissance est positive donc fournie par la source pour a > 0,5 et négative donc fournie par la charge pour a < 0,5.

 

La condition nécessaire et suffisante de conduction permanente est Imin > 0 soit I > Di/2.

Il vient . Nous cherchons les racines de ce polynôme et nous savons que son signe est celui de R.V donc + pour a compris entre les deux racines.

conduction discontinue

En conduction discontinue, on ne peut négliger l'ondulation; nous avons X = exp(-a.T/t) peu différent de 1-a.T/t ; avec cette approximation, nous obtenons . Le courant i(t) a la forme d'un triangle de hauteur Imax et de base b.T; nous en déduisons I = b.Imax/2.

Avec les relations U = (2.a-b).V+(1-b).E et I = (U-E)/R, il vient : (Re.9)

2.4 Courbes de charge

Si nous négligeons la résistance R de la charge, nous avons U = E. Nous étudions les variations de la f.é.m E en fonction de l'intensité moyenne I à a = Cste. Pour normaliser les graphes, nous traçons les courbes de charge y(x) avec x = 2.L.f.I/V et y = E/V.

 

v     En conduction permanente U=E=(2.a-1)V soit y = 2.a-1 , valeur indépendante de x.
v     En conduction discontinue, (Re.9) donne avec R = 0, b =2.a.V/(V+E).
Comme I = b.Imax/2, nous obtenons ; nous en déduisons .
La limite de conduction permanente correspond à   .

La fig.6 donne les courbes de charge.

 

3 hacheur quatre quadrants

3.1        Principe

La structure du hacheur est donnée par la fig.7 :

Nous avons la même structure en pont que pour le hacheur réversible en tension mais nous utilisons quatre interrupteurs réversibles en courant.

Ø      De 0 à a.T, K1 et K4 sont commandés à la fermeture; nous avons u = V et j = i; si i est positif, K1 et K4 conduisent et si i est négatif, D1 et D4 conduisent.

Ø      De a.T à T, K2 et K3 sont commandés à la fermeture; u = - V et j = -i. ; si i est positif, D2 et D3 conduisent et si i est négatif, K2 et K3 conduisent.

La structure peut donc fonctionner avec n'importe quelle combinaison de signes pour u et i; elle est entièrement réversible; de plus le courant i pouvant s'inverser à tout moment, la structure fonctionne toujours en conduction permanente.

3.2        Calcul des grandeurs

La structure étant identique à celle du hacheur réversible en tension, les formules sont celles calculées pour cette structure en conduction permanente.

Le calcul direct donne :

U = (2.a-1)V et I = (U-E)/R.

Le calcul simplifié donne : Di =2.a.(1-a).V/L.f; Imin=I- Di/2 et Imax = I+ Di/2.

Le courant moyen dans la source est .

4 exemple

4.1        Système étudié

Nous étudions la commande d'un treuil entraîné par une machine à courant continue utilisée en excitation indépendante.

La charge est une masse constante M = 800 kg, se déplaçant à la vitesse Vi orientée vers le haut.

Le treuil de diamètre de 20 cm, est entraîné par un réducteur de rapport 10:1 et de rendement mécanique égal à 95 %.

Le mouvement de la charge est décrit par la fig.9.b avec t1 =1 s ; t2 =60 s ; t3 =60,4 s t4 =120 s ; t5 =120,5 s ; t6 =180 s ; t7 =180,6 s.

 
4.2 Choix du moteur

Le couple résistant sur l'arbre du treuil est T' = M.g.D/2 avec g =9,81 m.s-2 soit T' = 785 Nm.

La pulsation de rotation du treuil est W'= Vi /(D/2) = 10.Vi.

En régime transitoire, la force de traction du treuil est F = M.(g+g), g étant l'accélération de la charge; cette accélération est en valeur absolue inférieure ou égale à 1/0,2 = 5 m.s-2 . La force maximale est donc 11 848N correspondant à un couple maximal T'max = 1 185 Nm. La puissance fournie par le treuil à la vitesse maximale de 1 m/s est T'max.W 'max = 11 850 W.

Avec un rendement du treuil h' = 95 %, le moteur doit fournir 12 472 W à la vitesse maximale de 10.

W 'max = 100 rd/s soit n = 955 tr / min.

Il faut compter de plus l'inertie des parties tournantes. Nous choisissons donc une machine continue 400 V - 17 kW - 1 200 tr/min.

La résistance d'induit est R = 0,3 W et l'inductance d'induit L = 4,2 mH.

Cette machine essayée à vide sous courant d'excitation nominal Ie = 2,5 A donne : U = 390 V ; I = 4,5 A ;

n = 1 200 tr /min. Nous en déduisons E = U-R.I = 388.7 V ;

K = E / W = 3,1 V.s et K' = E / n = 0,32 V.mn/tr. Le moment du couple de perte est Tp = K.I = 14 Nm.

Le moment d'inertie de l'ensemble des parties tournantes ramené sur l'arbre moteur est J = 0,6 kg.m2.

Le couple résistant de la charge est Tch = 785 Nm; compte tenu du rapport de réduction et du rendement du réducteur, le couple résistant sur l'arbre de MC est Tr = Tch/10/h' = 82,6 Nm

Les équations du fonctionnement à courant d'excitation nominal sont :

u = e + R.i + L.di/dt ; e = K.W = 100.K.vi ; Tem = K.i ; Tu = Tem-Tp ; le couple de pertes est supposé constant en valeur absolue et son signe change avec celui de la vitesse. J.d W /dt = Tu - Tr.

4.3        Alimentation par un hacheur réversible en courant

Le hacheur alimentant l'induit est alimenté sous V = 500 V et fonctionne à f = 10 kHz; la constante de temps électrique L/R de l'induit vaut 14 ms, valeur 140 fois plus grande que la période du hacheur; nous pouvons donc utiliser le calcul simplifié pour le hacheur.

L'ondulation maximale du courant en sortie du hacheur est V/4.L.f = 3 A; nous pouvons négliger cette ondulation devant la valeur moyenne du courant.

Si nous négligeons les pertes, nous avons à vitesse constante U = E = k'.n.F et Tem = Tr = k.F.I

La structure permet la réversibilité en courant mais pas en tension; nous pouvons donc fonctionner à flux constant dans les quadrants 1 et 2 du plan n(T). Pour pouvoir inverser la vitesse, il faut changer le signe du flux donc prévoir un inverseur pour alimenter l'inducteur.

Nous aurons :

v     quadrant 1 : n > 0 ; T > 0 donc U > 0 , F > 0 soit Ie > 0 et I > 0
v     quadrant 2 : n > 0 ; T < 0 donc U > 0 , F > 0 soit Ie > 0 et I < 0
v quadrant 3 : n < 0 ; T < 0 donc U > 0 , F < 0 soit Ie < 0 et I > 0
v quadrant 4 : n < 0 ; T > 0 donc U > 0 , F < 0 soit Ie < 0 et I < 0

Étudions le cycle de fonctionnement :

Ø      Première phase : de 0 à t1, démarrage du moteur dans le sens positif

vi(t) =1.t ; W = 100.t soit n = 955.t ; Tu = Tr + J.d W /dt = 142,6 Nm ; Tem = Tu+Tp = 156,6 Nm;

i = Tem / K = 50,5 A ; u = 310.t + 15,2 .

La période de fonctionnement du hacheur étant très petite devant le temps de démarrage, nous pouvons supposer qu'à chaque instant la tension u(t) est égale à la tension moyenne a.V en sortie du hacheur.

Nous en déduisons le rapport cyclique a = 0,62.t + 0,03; ce rapport varie donc de 3  % en t = 0 à 65 % pour t = 1 s.

MC fonctionne dans le quadrant 1.

Ø      Deuxième phase : de t1 à t2, le moteur tourne à 955 tr/min. Tu = Tr = 82,6 Nm ;

Tem = 96,6 Nm ; i = Tem / K = 31,2 A ; E = 310 V ; u = 319 V et a = 63,9 %.

 

Ø     Troisième phase : de t2 à t3, freinage du moteur; en posant t' = t - t2 , vi(t') =1-2,5.t' : W = 100-250.t'; Tu = Tr + J.d W /dt =  -67,4 Nm ; Tem = Tu+Tp = -53,4 Nm; i = Tem / K = -17,2 A ; u = 305 -775.t' ;

a = 0,61 -1,55.t' .

Le rapport cyclique doit varier de 61 % à -1 %. Comme le rapport cyclique est limité à 0; on a pour

t' = 0,394 s , u = 0 et n = 15,4 tr / min.

Si nous maintenons la tension nulle à partir de cet instant, nous avons e = - R.i = K.W soit i = -10,3.W ;

Tem = K.i = -23. W ; Tu = -14-23. W;

J.d W /dt = Tu - Tr = -96,6 - 23. W soit 0,6 d W /dt +23. W = -96,6 ou W +0,027.d W /dt = -96,6.

La solution est W = A.exp(-t"/0,027)-96,6 en prenant l'origine des temps à l'instant où u s'annule. n = A'.exp(-t"/0,027) -922; avec n = 15,4 tr/min en t" = 0, il vient n = 937.exp(-t"/0,027)-822. La vitesse s'annule en t" = 0,44 ms.

Durant cette phase MC fonctionne dans le quadrant 2.

Ø      Quatrième phase : de t3 à t4, le moteur est à l'arrêt. Tu = Tr = 82,6 Nm ; Tem = 82,,6 Nm  car le couple de pertes est nul à l'arrêt; i = Tem / K = 26,6 A ; E = 0 V ;

u = 8 V et a = 1,6 %.

Ø      Cinquième phase : de t4 à t5, le moteur démarre en sens négatif. Il faut donc inverser le courant inducteur; pour cela, nous devons annuler le courant d'induit en amenant a à 0 puis inverser Ie. Nous avons alors K = -3,1 V.s.

vi(t') = -2.t' en posant t' = t - t4 ; W = -200.t'; Tu = Tr + J.d W /dt' =  -37,4 Nm ; Tem = Tu+Tp = -51,4 Nm car n < 0 implique Tp < 0 ; i = Tem / K = 16,6 A ; u = 620.t' + 5 ; a = 1,24.t'+0,01 ; le rapport cyclique varie de 1 % à 63 %.

Durant cette phase MC fonctionne dans le quadrant 3.

Ø      Sixième phase : de t5 à t6, le moteur tourne à -955 tr/min. Tu = Tr = 82,6 Nm ; Tem = 68,6 Nm

(Tp < 0); i = Tem / K = -22,1 A ; E = 310 V ; u = 303 V et a = 60,6 %.

Durant cette phase, MC fonctionne dans le quadrant 4.

Ø      Septième phase : de t6 à t7, freinage; en posant t' = t - t6 , vi(t') = -1+1,67.t' ; W = 167.t'-100;

Tu = Tr + J.d W /dt =  182,6 Nm ; Tem = Tu+Tp = 168,6 Nm; i = Tem / K = -54,4 A ; u = 294-518.t' ;

a = 0,587 -1,04.t' .

Le rapport cyclique doit varier de 58,7 % à -3,7 %. comme le rapport cyclique est limité à 0; on a pour

t' = 0,564 s , u = 0 et n = -55 tr / min.

Si nous maintenons la tension nulle à partir de cet instant, nous avons e = - R.i = K.W soit i = 10,3.W ;

Tem = K.i = -23. W ; Tu = 14-23. W;

J.d W /dt = Tu - Tr = -68,6 - 23. W soit 0,6 d W /dt +23. W = -68,6 ou W +0,027.d W /dt = -68,6.

La solution est W = A.exp(-t"/0,027)-96,6 en prenant l'origine des temps à l'instant où u s'annule. n = A'.exp(-t"/0,027) -655; avec n = -55 tr/min en t" = 0, il vient

n = 710.exp(-t"/0,027)-655. La vitesse s'annule en t" = 2,2 ms. La machine s'arrête donc en 0,566 s au lieu de 0,6 s.

Durant cette phase MC fonctionne dans le quadrant 4.

 

Le fonctionnement est donc possible avec un hacheur réversible en courant mais la nécessité d'inverser le courant d'excitation pour inverser la vitesse complique la commande.

4.4        Alimentation par un hacheur réversible en tension

Le hacheur alimentant l'induit est alimenté sous V = 500 V et fonctionne à f = 10 kHz; l'ondulation maximale du courant en sortie du hacheur est V/2.L.f = 6 A. Comme le courant à vide est de 4,5 A, valeur supérieure à Di/2, nous serons toujours en conduction permanente. En charge, nous pouvons négliger cette ondulation devant la valeur moyenne du courant.

Si nous négligeons les pertes, nous avons à vitesse constante U = E = k'.n.F et Tem = Tr = k.F.I; la structure permet la réversibilité en tension mais pas en courant; nous pouvons donc fonctionner à flux constant dans les quadrants 1 et 4 du plan n(T). Pour pouvoir inverser la vitesse, il faut changer le signe du flux donc prévoir un inverseur pour alimenter l'inducteur. Nous aurons :

v     quadrant 1 : n > 0 ; T > 0 donc I > 0 , F > 0 soit Ie > 0 et U > 0
v     quadrant 2 : n > 0 ; T < 0 donc I > 0 , F < 0 soit Ie < 0 et U < 0
v     quadrant 3 : n < 0 ; T < 0 donc I > 0 , F < 0 soit Ie < 0 et U > 0
v quadrant 4 : n < 0 ; T > 0 donc I > 0 , F > 0 soit Ie > 0 et U < 0

Étudions le cycle de fonctionnement :

Ø      Première phase : de 0 à t1, démarrage du moteur dans le sens positif

vi(t) =1.t ; W = 100.t soit n = 955.t ; Tu = Tr + J.d W /dt = 142,6 Nm; Tem = Tu+Tp = 156,6 Nm;

i = Tem / K = 50,5 A ; u = 310.t + 15,2 . U=(2.a-1).V ; nous en déduisons le rapport cyclique

a = 0,31.t + 0,5152; ce rapport varie donc de 51.52  % en t = 0 à 82,52 % pour t = 1 s.

MC fonctionne dans le quadrant 1.

Ø      Deuxième phase : de t1 à t2, le moteur tourne à 955 tr/min. Tu = Tr = 82,6 Nm ; Tem = 96,6 Nm ;

i = Tem / K = 31,2 A ; E = 310 V ; u = 319 V et a = 81,9 %

Ø      Troisième phase : de t2 à t3, freinage du moteur; en posant t' = t - t2 , vi(t') =1-2,5.t' ;

W = 100-250.t'; Tu = Tr + J.d W /dt =  -67,4 Nm ; Tem = Tu+Tp = -53,4 Nm; le couple étant négatif, le courant devrait être négatif; comme la structure ne le permet pas, il faut inverser le courant inducteur et donc

K = -3,1 V.s. Pour cela nous devons annuler le courant en égalant u et e. Pour u = e = 310 V, nous avons a = 81 %; nous inversons Ie donc e = - 310 V en supposant que la vitesse n'a pas eu le temps de varier; si nous voulons garder i = 0, nous devons avoir u = e = -310 V soit a = 19 %; puis nous amenons le courant à i = Tem / K = 17,2 A ; u = -305 +775.t' ; a = 0,775.t' +0,195 . Le rapport cyclique doit varier de 19,5 % à 50,5 %

Durant cette phase MC fonctionne dans le quadrant 2

Ø      Quatrième phase : de t3 à t4, le moteur est à l'arrêt. Tu = Tr = 82,6 Nm ; Tem = 82,6 Nm  car le couple de pertes est nul à l'arrêt; nous devons donc de nouveau inverser le courant inducteur pour revenir à un flux positif; i = Tem / K = 26,6 A ; E = 0 V ; u = 8 V et a = 50,8 %

Ø      Cinquième phase : de t4 à t5, le moteur démarre en sens négatif.

Vi(t') = -2.t' en posant t' = t - t4 ; W = -200.t'; Tu = Tr + J.d W /dt =  -37,4 Nm ; Tem = Tu+Tp = -51,4 Nm car n < 0 implique Tp < 0 ; le courant étant négatif, il faut inverser le courant d'excitation pour avoir K = -3,1 V.s ; i = Tem / K = 16,6 A ; u = 620.t' + 5 ; a = 0,62.t'+0,505 ; le rapport cyclique varie de 50,5 % à 81,5 %.

Durant cette phase MC fonctionne dans le quadrant 3.

Ø      Sixième phase : de t5 à t6, le moteur tourne à -955 tr/min. Tu = Tr = 82,6 Nm ; Tem = 68,6 Nm

(Tp < 0); il faut donc une nouvelle fois inverser le courant d'excitation ; i = Tem / K = 22,1 A ;

E = -310 V ; u = -303 V et a = 19,7 %.

Durant cette phase, MC fonctionne dans le quadrant 4.

Ø      Septième phase : de t6 à t7, freinage; en posant t' = t - t6 , vi(t') = -1+1,67.t' ; W = 167.t'-100;

Tu = Tr + J.d W /dt =  182,6 Nm ; Tem = Tu+Tp = 168,6 Nm; i = Tem / K = 54,4 A ; u = -294+518.t' ;

a = 0,518.t'+0,206 . Le rapport cyclique doit varier de 20,3 % à 51,68 %.

Durant cette phase MC fonctionne dans le quadrant 4.

Le fonctionnement est donc possible avec un hacheur réversible en tension mais en inversant 4 fois le courant d'excitation pour inverser la vitesse . Ce mode de commande ne sera donc généralement pas utilisé.

4.5        Alimentation par un hacheur quatre quadrants

Le hacheur alimentant l'induit est alimenté sous V = 500 V et fonctionne à f = 10 kHz; nous pouvons alors obtenir n'importe quel point de fonctionnement sans inverser le courant d'excitation

Étudions le cycle de fonctionnement :

Ø      Première phase : de 0 à t1, démarrage du moteur dans le sens positif

vi(t) =1.t ; W = 100.t soit n = 955.t ; Tu = Tr + J.d W /dt = 142,6 Nm ; Tem = Tu+Tp = 156,6 Nm;

i = Tem / K = 50,5 A ; u = 310.t + 15,2 . U=(2.a-1).V ; nous en déduisons le rapport cyclique

a = 0,31.t + 0,5152; ce rapport varie donc de 51.52  % en t = 0 à 82,52 % pour t = 1 s.

MC fonctionne dans le quadrant 1.

Ø      Deuxième phase : de t1 à t2, le moteur tourne à 955 tr/min. Tu = Tr = 82,6 Nm ; Tem = 96,6 Nm ;

i = Tem / K = 31,2 A ; E = 310 V ; u = 319 V et a = 81,9 %.

Ø      Troisième phase : de t2 à t3, freinage du moteur; en posant t' = t - t2 , vi(t') =1-2,5.t' ;

W = 100-250.t'; Tu = Tr + J.d W /dt =  -67,4 Nm ;

Tem = Tu+Tp = -53,4 Nm; i = Tem / K = -17,2 A ; a =0,805-0,775.t' . Le rapport cyclique doit varier de 80,5 % à 49,5 %

Durant cette phase MC fonctionne dans le quadrant 2.

Ø      Quatrième phase : de t3 à t4, le moteur est à l'arrêt. Tu = Tr = 82,6 Nm ; Tem = 82,6 Nm  car le couple de pertes est nul à l'arrêt; i = Tem / K = 26,6 A ; E = 0 V ; u = 8 V et a = 50,8 %.

Ø      Cinquième phase : de t4 à t5, le moteur démarre en sens négatif.

Vi(t') = -2.t' en posant t' = t - t4 ; W = -200.t'; Tu = Tr + J.d W /dt =  -37,4 Nm ; Tem = Tu+Tp = -51,4 Nm car n < 0 implique Tp < 0 ; i = Tem / K = -16,6 A ; u = -620.t' - 5 ; a = -0,62.t'+0,495 ; le rapport cyclique varie de 49,5 % à 18,5 %.

Durant cette phase MC fonctionne dans le quadrant 3.

Ø      Sixième phase : de t5 à t6, le moteur tourne à -955 tr/min. Tu = Tr = 82,6 Nm ; Tem = 68,6 Nm

(Tp < 0); i = Tem / K = 22,1 A ; E = -310 V ; u = -303 V et a = 19,7 %.

Durant cette phase, MC fonctionne dans le quadrant 4.

Ø      Septième phase : de t6 à t7, freinage; en posant t' = t - t6 , vi(t') = -1+1,67.t' ; W = 167.t'-100;

Tu = Tr + J.d W /dt =  182,6 Nm ; Tem = Tu+Tp = 168,6 Nm; i = Tem / K = 54,4 A ; u = -294+518.t' ;

a = 0,518.t'+0,206 . Le rapport cyclique doit varier de 20,3 % à 51,68 %.

Durant cette phase MC fonctionne dans le quadrant 4.

Le hacheur réversible en tension et en courant permet donc un fonctionnement simple du montage.