On étudie la structure Boost ci-contre :

Ø    De 0 à a.T , K est fermé imposant v = 0; D est bloquée et impose i = 0; durant cette phase on accumule de l'énergie dans l'inductance. L'intensité j augmente et tend vers la valeur E/R.

Ø    De a.T à T, K est ouvert; l'intensité j décroît et tend vers la valeur (E-U) /R; la structure étant élévatrice de tension, U > E donc cette limite est négative; D interdisant la circulation d'un courant i < 0, nous aurons donc deux types de fonctionnement :

Étudions le régime permanent pour lequel toutes les grandeurs sont périodiques de fréquence f = 1 / T.

Ø      De 0 à a.T, nous avons v = E-R.j-L.dj/dt = 0 soit j + t.dj/dt = E/R en posant t = L/R.

Nous en déduisons j = A.exp(-t/t) + E/R ; le courant j est minimal en t =0d'où Jmin = A + E/R et

j = (Jmin - E/R).exp(-t/t) + E/R . A la fin de cette phase, le courant source est maximal ;

posons X = exp(-a.T/t); il vient : j(a.T) = Jmax = X.Jmin - (1-X).E/R  (Eq.1)

Ø      De a.T à T, la conduction de D impose v = U = E-R.j-L.dj/dt soit j + t.dj/dt = (EU)/R.

En posant t' = t -a.T, nous obtenons ; avec j(t'=0)=J_max, il vient :

; en t = T soit t' =(1-a).T, le courant devenu périodique reprend sa valeur minimale initiale;

en posant

Les équations (Eq.1) et (Eq.2) permettent d'exprimer les extremums de j :

_.

L'ondulation crête à crête est : (Eq.5); notons que X.Y = exp(^-T/t) ne dépend pas du rapport cyclique et que l'ondulation est indépendante de la f.é.m E.

La fig.2 donne l'allure des graphes :

 

La valeur moyenne de la tension v est V = (1-a).U; on a v = E-R.j-L.dj/dt; la tension moyenne aux bornes d'une inductance pure est nulle en régime périodique donc V = E - R.J en valeurs moyennes

soit J = [E-(1-a).U]/R.

Calculons la valeur moyenne du courant i dans la charge : i = 0 de 0 à a.T et i = j de a.T à T. Nous avons :

 (Eq.6)

condition de conduction permanente

Les interrupteurs unidirectionnels en courant imposent j ³ 0 donc J ³ 0; d'après l'expression de J, nous en déduisons une condition nécessaire de conduction permanente a > 1-E/U.

Cette condition n'est pas suffisante car on peut avoir une valeur moyenne positive avec un courant négatif sur un intervalle de la période. La condition nécessaire et suffisante est J_min >0; d'après (Eq.3), nous en déduisons  (Eq.7)

Si E et U sont constants avec E/U < 1, la condition nécessaire de conduction permanente ne peut être satisfaite lorsque a tend vers 0. Nous devons envisager le fonctionnement en conduction discontinue.

Ø      De 0 à a.T, K conduit et le courant j augmente à partir de la valeur J_min = 0.

L'équation j + t.dj/dt = E/R donne j = A.exp(-t/t) + E/R ;

le courant j est minimal en t =0; nous en déduisons Jmin = = 0 = A + E/R d'où j =E.[1-.exp(-t/t)] /R ; .

Le courant est maximal en a.T et vaut alors J_max = E.(1-X)/R.

Ø      De a.T à b.T , D conduit et impose v = U. Nous en déduisons comme en conduction permanente ; le courant s'annule en t = b.T soit en t' =(b-a).T; nous en déduisons :  (Eq.8)

Ø      De b.T à T, le courant j, ne pouvant être négatif, reste nul donc v = E.

La fig.3 donne l'allure des graphes :

 

La valeur moyenne de v est V =(b-a).U+(1-b).E; celle du courant j est  :

Nous calculons comme en conduction permanente la valeur moyenne du courant i:

 (Eq.9)

 

2 calcul simplifié

2.1 Conduction permanente

On utilise les résultats du paragraphe 1.3. Calculons d'abord la valeur limite de a pour rester en conduction permanente.

Avec (Eq.7) nous calculons  X.Y= exp(^-T/t) = exp(^-1/2)= 0,607 et a > 56,19 % pour rester en conduction permanente.

Pour a < 56,19 %, nous sommes en conduction discontinue; pour chaque valeur du rapport cyclique (Eq.8) donne b ; nous en déduisons V =(b-a).U+(1-b) ; J = (E-V)/R ; Dj = J_max = E.(1-X)/R et I par (Eq.9).

Pour a > 56,19 %, nous sommes en conduction permanente, V=(1-a).U ; J = (E-V)/R ; Dj par (Eq.5) et I par (Eq.6).

Le tableau ci-dessous donne les résultats.

 

Les racines de l'équation (Eq.11) sont -3,56 et 0,5616; la conduction est donc permanente pour

a > 56,16 %.

Pour a < 56,16 %, nous sommes en conduction discontinue; pour chaque valeur du rapport cyclique (Eq.12) donne b ; nous en déduisons V =(b-a).U+(1-b) ; J = (E-V)/R ; Dj = J_max = = a.E/L.f. et I = (b-a)J/b.

Pour a > 56,16 %, nous sommes en conduction permanente, V=(1-a).U ; J = (E-V)/R ; Dj par (Eq.10) et

I =(1-a). J.

Le tableau ci-dessus donne les résultats.

Comme pour le hacheur série, nous voyons qu'en conduction discontinue, la tension V est quasi constante et le courant j reste très faible en valeur moyenne avec une très forte ondulation; ce fonctionnement doit en général être évité.

La comparaison du calcul direct et du calcul simplifié montre une bonne concordance des résultats, bien que la constante de temps t soit seulement deux fois plus grande que la période.
L'écart sur les valeurs de J ne dépasse pas 4,5 % et celui sur les valeurs de Dj , 15 %

3 courbes de charge

Lorsque la source est l'induit d'une machine à courant continu, nous pouvons négliger la résistance d'induit R et modéliser la source par un dipôle E - L. Les équations du hacheur ne permettent plus de calculer le courant moyen J; celui-ci est fixé par le couple de la machine.

Ø      Conduction permanente : U, J, L, f et a étant fixés, nous pouvons calculer : V = E = (1-a).U ;

Dj = a.(1-a).U/(L.f) , J_min = J- Dj /2 et J_max = J+ Dj /2.

Nous devons vérifier que J_min > 0 donc que  J > Dj /2

Ø      Conduction discontinue : V = E = (b-a).U+(1-b).E ; nous en déduisons b = a.U/(U-E).

Avec J_max = a.E/L.f. = J /2.b, nous en déduisons : . U, J, L, f et a étant fixés, nous pouvons calculer  E puis b .

En conduction permanente V = E = (1-a).U donc y = (1-a) = Cste.

En conduction interrompue  donne y = x /(a^²+x).

La limite entre les deux régimes est obtenue pour J = Dj /2 soit J = a.(1-a).U/(2.L.f) ou encore x = a.(1-a).

Les courbes de charge sont tracées fig.7 :

 

Comme pour le hacheur série, nous constatons qu'en conduction permanente, il est possible de régler y donc la vitesse indépendamment de x donc du couple; en conduction discontinue, la vitesse varie avec le rapport cyclique mais aussi avec le couple.

Le plus souvent nous chercherons à rester en conduction permanente à tout régime; la valeur maximale de l'ondulation étant U/4.L.f, il suffit que le courant moyen reste toujours supérieur à U/8.L.f..

4 Rhéostat statique

La source est modélisée par un dipôle E - r - L et la charge est une résistance fixe R.

Lorsque K est passant, u = 0 donc i = 0; la diode D qui évitait la mise en court-circuit de la branche tension devient inutile. La structure est alors celle de la fig.8.

De 0 à a.T, K est fermé : le courant j tend vers la valeur E / r avec la constante de temps t = L / r.

De a.T à T, K est ouvert : le courant j tend vers la valeur E / R' , avec R' = r+R avec la constante de temps t'= L / R'.

Le courant j est donc toujours positif et nous sommes toujours en régime de conduction permanente.

Ø      De 0 à a.T, les équations du montage sont u = 0 ; i = 0 ; r.j+L.dj/dt = E.

Nous en déduisons j = E/r + A.exp(^-t/t)  .

Le courant étant minimal en t = 0, il vient .

A la fin de cette phase, le courant est maximal; en posant X = exp(^-a.T/t)  , nous obtenons :  (Eq.11).

Ø      De a.T à T, les équations du montage sont u = R.i ; i = j ; (R+r).j+L.dj/dt = E. Nous en déduisons

j = E/R' + B.exp(^{-t'/t ')}  , en posant t’ = L/(R+r) et t' = t - a.T. Le courant dans L ne pouvant être discontinu, nous avons j (t'=0) = J_max soit .

A la fin de cette phase, c'est à dire pour t = T donc t' = (1-a.)T, le courant en régime permanent périodique a repris sa valeur initiale j(0) = J_min;

en posant Y' = exp[^{-(1-a).T/t ']}  , nous obtenons J_min = Y'.J_max + E.(1-Y')/R' (Eq.12).

Des équations (Eq.11) et (Eq.12), nous tirons les extremums du courant :

 

L'ondulation crête à crête est : .

Calculons les valeurs moyennes des courants :

Tous calculs faits, nous obtenons .

Pour un montage donné, I est fonction uniquement de a :

L'équation E = r.j+L.dj/dt+u donne en valeurs moyennes E = r.J+U = r.J+R.I; nous en déduisons

J = (E-R.I)/r .

Si nous avions directement branché le dipôle E-r-L sur une résistance variable Rh, nous aurions J = E/(r+Rh) Comme I varie avec a, J varie également avec a. Le hacheur parallèle chargé par R est équivalent à une résistance Rh variable de 0 à R lorsque a varie de 1 à 0.

4.3 Calcul simplifié

Les formules établies ci-dessus sont trop complexes pour donner des résultats facilement exploitables; nous allons simplifier le calcul en supposant que :

v     la résistance r de la source est négligeable : nous prendrons donc r = 0 et R'=R

v     la constante de temps t' = L/R' = L/R est très grande devant la période du hacheur T.

Avec ces hypothèses :

Ø      de 0 à a.T : K conduit et u = 0 ; E = L.dj/dt d'où J = E.t/L+A; avec j(0) = J_min, il vient j = J_min + E.t/L.

A la fin de cette phase j(a.T) = J_max = J_min + E. a.T /L. Nous en déduisons l'ondulation crête à crête Dj = E. a.T /L = E. a /L.f.

Ø      de a.T à T : K est ouvert et i = j ; E = R.j +L.dj/dt. Posons t' = t - a.T, le calcul est identique à celui fait directement; en faisant r = 0 dans l'expression obtenue du courant, nous obtenons : ; avec l'hypothèse t' << T, nous pouvons remplacer exp(^{-t'/t ')} par 1-t'/ t ', il vient : .

Écrivons que le courant est périodique en régime permanent : j(t=T) = j(t'=T-a.T) = j(t= 0). Nous en déduisons  d'où

Les graphes de i et j sont semblables à ceux de la fig.4; nous en déduisons en valeurs moyennes :

E = U = R.I = R.J.(1-a) d'où J = E / [R.(1-a)]; si nous branchions directement une résistance variable Rh aux bornes de la source E-L, nous aurions J = E / Rh; nous en déduisons Rh = R.(1-a).

L'ensemble hacheur + résistance fixe R est donc équivalent à un rhéostat; la valeur de la résistance est réglée par le rapport cyclique a, sans déplacement d'un curseur d'où le nom de rhéostat statique donné à cette structure.

5 effet des inductances parasites

5.1        Charge E - R - L

Nous tenons compte de l'inductance parasité L' de la branche tension (fig.9) et nous modélisons la source par une branche idéale de courant continu J.

Nous étudions la conduction permanente.

Ø      Fermeture de K

A t = 0^-, K est ouvert et D conduit; nous supposons L' suffisamment faible pour que le régime permanent continu soit établi donc i = J et v = U.

A t = 0, nous commandons la fermeture de K

A t = 0⁺,  i = J donc D conduit avec K qui impose le temps de montée du courant i_k = J.t/t_on.

Pour t > 0, nous en déduisons i = J(1- t/t_on) et v = U+L'.di/dt = U-L'.J/ t_on = V₁.

Deux cas peuvent alors se produire :

v     V₁ > 0, cas le plus fréquent représenté sur la fig.10, la fermeture de K se fait sous tension constante et la commutation est terminée en t_on.

La commutation de K est d'autant plus dure, donc induit d'autant plus de pertes dans K, que V₁ est proche de U.

v     V₁ < 0, dans ce cas, le mode de commutation dépend de la technologie de l'interrupteur K; si K ne peut conduire sous tension négative (cas du thyristor par exemple), le montage ne fonctionnera pas correctement.

Si l'interrupteur verrouille la tension à 0, nous aurons -L'.di/dt = U soit i = J-U.t/L' ; la commutation se termine pour i = 0 soit en t'_on = L'.J/U et c'est l'inductance et la charge qui imposent la vitesse de croissance U/L' du courant i_k. Ce fonctionnement risque d'être dangereux pour l'interrupteur K.

Nous devons donc nous assurer que V₁ > 0.

Ø      Ouverture de K

A t = a.T^-, K est fermé et D est bloquée donc i = 0.

A t = a.T, on commande l'ouverture de K ; à t = a.T⁺, L' impose i = 0 donc i_k = J.

Posons t' = t - a.T, pour t' > 0, K impose la décroissance du courant : i_k = J(1-t'/t_off); la continuité de J impose que D conduise : i = J-i_k = J.t'/t_off donc v = U+L'.di/dt = U+L'.J/t_off = V₂, valeur supérieure à U. L'interrupteur est donc soumis à une surtension au blocage.

L'inductance parasite :

v     modifie la valeur moyenne de V; d'après la fig.10, on obtient

   au lieu de V=(1-a).U.

v     impose une surtension L'.J/t_off  à K lors de son ouverture

v     crée des pertes de commutation dans K :

Faisons un exemple numérique : U = 150 V ; J = 20 A; L = 2 µH ; t_on = 0,5 µs ; t_off = 0,8 µs ; f = 10 kHz ;

a = 50 %. Nous en déduisons V₁ = 70 V ; V₂ = 200 V ; V = 75,5 V ; W_on = 350 µJ ; W_off = 1 600 µJ.

La surtension est de 50 V à la fermeture soit 33 % de U; la valeur moyenne n'est quasi pas modifiée (75,5 V au lieu de 75 V); les pertes de commutation sont (W_on + W_off).f = 19,5 W.

L'inductance parasite, comme pour le hacheur série, détériore le fonctionnement. Nous pouvons atténuer ces effets en plaçant une capacité C en parallèle sur la charge, au plus près du hacheur pour limiter l'effet des inductances de câblage. A l'ouverture, le condensateur assure la continuité de la tension v qui reste égale à U et permet l'extinction progressive du courant i; le choix du condensateur est identique à celui du hacheur série.

Dans ce cas, l'inductance parasite L' est due au câblage et à l'inductance propre de la résistance de charge R (fig.11).

Ø      Fermeture de K

A t = 0^-, K est ouvert; nous supposons L' suffisamment faible pour que le régime permanent continu soit établi donc i = J et v = R.J.

A t = 0, nous commandons la fermeture de K

A t = 0⁺,  i = J; nous aurons deux cas suivant la rapidité de K:

v     si K commute quasi instantanément, nous aurons v(0⁺)= 0 soit R.i.+L'.di/dt = ; en posant t_p = L'/ R, il vient i = Aexp(^-t/tp), soit avec la condition initiale :

i = J.^exp(-t/tp) ; la charge impose donc la vitesse de croissance de i_k = J.[1- exp(^-t/tp)] égale au maximum à J/t_p . Le temps de fermeture dure environ 5.t_p jusqu'à annulation de i.

v     si K impose une vitesse de croissance du courant i_k inférieure à J/t_p , i_k = J.t/t_on.

Pour t > 0, nous en déduisons i = J(1- t/t_on) et v = R.i+L'.di/dt = R. J(1- t/t_on)+L'. J.t/t_on.

Dans ce cas, la fermeture de K se fait sous tension positive avec des pertes de commutation.

Ø      Ouverture de K

A t = a.T^-, K est fermé ; i = 0 et i_k = J

A t = a.T, on commande l'ouverture de K ; à t = a.T⁺, L' impose i = 0 donc i_k = J.

Posons t' = t - a.T, pour t' > 0, K impose la décroissance du courant : i_k = J(1-t'/t_off);  i = J-i_k = J.t'/t_off donc v = R. J.t'/t_off +L'. J./t_off.

Durant l'ouverture, la tension v varie de L'. J./t_off. à R.J+ L'. J./t_off.

 

L'inductance L crée donc une surtension aux bornes de K et une commutation dure avec des pertes.

Faisons un exemple numérique :

R = 10 W ; J = 20 A; L = 2 µH ; t_on = 0,5 µs ; t_off = 0,8 µs ; f = 10 kHz ; a = 50 %.

A la fermeture t_p = L'/ R = 0,2 µs et la vitesse de croissance de i_k est J/t_p =100 A / µs. En supposant que K puisse accepter cette vitesse, le temps de fermeture est de l'ordre de 1 µs.

A l'ouverture i_k = 20.(1-1,25.10⁶.t') et v = 250. 10⁶.t' + 50 ; la tension varie de 50 à 250 V alors que R.J = 200 V; la surtension est de 50 V. Les pertes à l'ouverture sont :

 soit une puissance de 20 W.

Nous ne pouvons dans ce cas, supprimer la surtension en plaçant un condensateur aux bornes de l'interrupteur car on modifierait la structure et on n'aurait plus un rhéostat statique. La surtension étant généralement de courte durée, nous pouvons protéger l'interrupteur par un dispositif écrêteur  tel qu'une diode zéner ou une diode transil. La tension en régime continu aux bornes de K est R.J_max; la tension d'écrêtage doit être supérieure à cette tension et inférieure à la tension maximale que peut bloquer K.

6 exemple

Reprenons l'étude du moteur de locomotive étudié au paragraphe 6 du chapitre 3.2.

6.2        Freinage en récupération