Le montage étudié est donné ci-contre :

Nous idéalisons la branche tension formant la source : v(t) = V = Cste.

La structure étant non réversible, la f.é.m E est supposée positive ou nulle; comme la structure fonctionne en abaisseur de tension on doit avoir E £ V.

L'interrupteur K est commandé à la fréquence f = 1 / T avec le rapport cyclique a :

L'équation de la charge est u = E + R.i + L.di /dt. En régime permanent, toutes les grandeurs sont de période T; ceci implique que la dérivée de la fonction périodique i(t) a une valeur moyenne nulle. Nous en déduisons U = E + R.I , en notant les valeurs moyennes par un majuscule sans indice pour alléger la notation.

Dans l'étude structurelle, nous avons supposé i = I = Cste; nous avions alors :

Nous avons alors seulement la phase de transfert d'énergie suivie de la phase de roue libre.

Durant la première phase l'énergie fournie par la source fait croître le courant i(t); durant la phase de roue libre, i(t) diminue au fur et à mesure que l'inductance perd de l'énergie magnétique.

Recherchons l'expression des grandeurs en régime permanent; nous supposons que ce régime est atteint au bout de la n^ème période à partir du temps pris comme origine t = 0.

v     de 0 à a.T, K est fermé et D est bloquée donc u = V; nous en déduisons : R.i+L.di/dt = V-E soit

i + t.di/dt = I_o avec t = L / r, constante de temps de la charge et I_o = (V-E)/R, courant de régime permanent continu si K était fermé en permanence.

La solution est de la forme : i(t) = I_o + A.exp(^-t/t); la constante d'intégration se calcule à partir de la condition initiale sur la variable d'état i.

On a i(0) = I_min, valeur minimale du courant à la fin de la phase de roue libre précédente. Nous en déduisons A = I_min - I_o soit : i(t) = I_o + (I_min - I_o).exp(^-t/t) .

Cette phase prend fin en t = a.T ; en posant X = exp(^-a.T/t), nous obtenons le courant maximal

I_max =  I_o + (I_min - I_o).X ( Eq.1).

v     de a.T à T, K est ouvert et D conduit donc u = 0; nous avons i + t.di/dt = - E / R; en posant

t' = t - a.T, nous avons i = -E/R + B. exp(^-t'/t)   ; la constante B se calcule en écrivant la continuité de i en t' = 0 soit I_max = -E/R+B; nous en déduisons : i(t') = ( I_max+E/R). exp(^-t'/t)  - E/R. à la fin de la phase de roue libre, le courant devenu périodique reprend la valeur initiale I_min.

En posant Y = exp[^-(1-a).T/t] , il vient I_min = ( I_max+E/R).Y - E/R (Eq.2).

Les relations (Eq.1) et (Eq.2) permettent de trouver les expressions des extrema de i :  

L'ondulation crête à crête du courant est : ; on peut noter que cette ondulation est indépendante de la f.é.m E.

La fig.2 donne l'allure des graphes de u et de i.

 

condition de conduction permanente

Y(1-X)/(1-X.Y) > E/ V; X.Y = e^xp(-a.T/t) . exp(^-(1-a).T/t)  = exp(^-T/t)  = Cste pour a variable; nous en déduisons Y > X.Y + E(1-X.Y)/V soit :

1/Y = exp[^(1-a).T/t ] < V / [E+X.Y(V-E)] d'où

v     de 0 à a.T, K est fermé et D est bloquée donc u = V; nous en déduisons : R.i+L.di/dt = V-E soit

i + t.di/dt = I_o . La solution est de la forme : i(t) = I_o + A.exp(^-t/t); la constante d'intégration se calcule à partir de la condition initiale sur la variable d'état i.

On a i(0) = I_min = 0, car l'inductance a restitué toute son énergie avant la fin de la période précédente. Nous en déduisons A = - I_o soit : i(t) = I_o .[1 - exp(^-t/t)].

Cette phase prend fin en t = a.T ; en posant X = exp(^-a.T/t)  , nous obtenons le courant maximal

I_max =  I_o (1-X)

v     pour t = a.T⁺ à T, K est ouvert et i est maximal; D conduit pour assurer la continuité du courant donc u = 0; nous avons i + t.di/dt = - E / R; en posant t' = t - a.T, nous avons i = -E/R + B. exp(^-t'/t)   ;

la constante B se calcule en écrivant la continuité de i en t' = 0 soit I_max = -E/R+B; nous en déduisons :

i(t') = ( I_max+E/R). exp(^-t'/t)  - E/R. Le courant i s'annule avant la fin de la période à l'instant b.T soit en

t' =(b-a).T; nous en déduisons :  soit

v     pour b.T < t < T, i est nul, K et D sont bloqués et u = E.

La fig.3 donne l'allure des graphes:

Calculons les valeurs moyennes; d'après le graphe ci-dessus, nous avons :

U = a.V+(1-b).E et I = (U-E)/R = (a.V-b.E)/R

Si nous observons les graphes des fig.2 et 3, nous constatons que le courant i(t) a une forme proche de celle d'un signal triangulaire.

Lorsque x << 1, nous avons exp(^-x) » 1-x; si la condition t >> T est satisfaite, nous pouvons appliquer cette approximation aux termes X et Y qui apparaissent dans les équations des extremums du courant en conduction continue : X » 1-a.T/t , Y » (1-a).T/t et X.Y » 1-T/t  .

 L'expression devient alors ; avec R.t = L et T = 1/ f, nous obtenons

Nous allons montrer qu'il n'est pas nécessaire de résoudre les équations différentielles pour obtenir ce résultat.

2.1 Étude simplifiée en conduction permanente

Supposons que le courant i(t) a une forme triangulaire; nous obtenons le graphe de la fig.4.

Si t >> T, l'ondulation crête à crête du courant Di proportionnelle à T / t devient très petite devant la valeur moyenne I.

Durant la phase de transfert d'énergie, nous avons u = V = E+R.i+L.di/dt; en considérant que  Di  << I, nous pouvons confondre R.i(t) avec R.I.

Attention

Nous ne pouvons pas dire que i étant quasi constant sa dérivée di/dt est quasi nulle donc que le terme L.di/dt est négligeable; car pour avoir une ondulation nulle, il faudrait avoir L infinie. D'ailleurs ce terme est égal à

V-E-R.I, valeur souvent peu différente de V-E donc indépendante de L. ( quand L ® ¥ alors di/dt ® 0 donc L.di/dt est une forme indéterminée pour la limite).

Avec l'approximation sur le terme R.i, il vient : di /dt = (V-E-R.I) / L = Cste; on a donc i(t) = a.t+b, équation d'une droite. La pente de la droite est di/dt = Di /Dt ; si nous faisons varier t de 0 à a.T, i varie de I_min à I_max et on obtient Di /a.T = (V-E-R.I) / L.

Avec U = a.V =E+R.I, nous obtenons .

Pour V, L et f fixées, l'ondulation crête à crête varie avec a; Di étant le produit de deux termes a et (1- a) dont la somme est constante, sa valeur maximale est atteinte pour a = 1- a soit a = 50 % et la valeur maximale de l'ondulation est Di_max = V/4.L.f.. L'ondulation est donc d'autant plus faible que le produit L.f est grand. La réalisation de fortes inductances parcourues par des courants élevés est complexe et donne des composants coûteux et encombrants. Pour obtenir un courant quasi continu tout en gardant des valeurs raisonnables pour L, nous avons intérêt à adopter une fréquence de découpage aussi élevée que possible; la limite supérieure de la fréquence est fonction de la rapidité de commutation de l'interrupteur commandé : 500 Hz pour un thyristor, 50 à 100 kHz pour un transistor bipolaire, 800 kHz pour un transistor MOS.

Le courant étant une fonction triangulaire, nous avons I = (I_max + I_min) /2 ; nous en déduisons donc :

I_max = I + Di /2 et I_min = I - Di /2.

La condition pour rester en conduction permanente est I_min > 0 soit  I > Di /2; avec les expressions de I et Di , il vient :

Nous savons qu'un polynôme du second degré a le signe du coefficient du terme de second degré à l'extérieur des racines.

Le produit des racines est ici -2.L.f.E/V < 0; un racine est négative, l'autre positive donne la valeur minimale de a pour le régime de conduction continue.

2.2 Étude simplifiée en conduction interrompue

L'intensité i(t) a alors la forme de la fig.5:

Dans ce cas, l'ondulation Di est rarement négligeable devant I.

En reprenant la solution obtenue par le calcul direct : i(t) = I_o.[1 - exp(^-t/t)] et en remplaçant exp(^-t/t) par

1-t /t, il vient : i(t) = I_o. t / t = (V-E).t / L. Nous en déduisons la valeur maximale du courant

I_max = i(a.T) = (V-E). a.T / L. 

Lors de la phase de roue libre, la solution est : i(t') = ( I_max+E/R). exp(^-t'/t)  - E/R.  en remplaçant exp(^-t'/t) par 1-t' / t, il vient : i(t') = I_max -( I_max+E/R). t' / t soit i(t’) = I_max -( R.I_max+E). t' / L . Le courant s'annule en

t' = (a-b).T, nous en déduisons : b = a + (L.f . I_max )/( R.I_max+E).

D'après le graphe du courant, nous avons I = b. I_max /2

Nous connaissons la tension source V, l'inductance L, la résistance R, la fréquence de découpage f et le rapport cyclique a.

Suivant le type de charge, nous connaissons de plus la f.é.m E' s'il s'agit d'une batterie ou d'un moteur fonctionnant à vitesse imposée ou l'intensité moyenne I s'il s'agit d'un moteur fonctionnant à couple imposé.

Ø      vérifier que la condition T << t = L / R est satisfaite; si ce n'est pas le cas, on ne pourra appliquer la méthode simplifiée; la méthode sera alors semblable à celle décrite ci-dessous mais avec les formules du paragraphe 2.

Ø      Supposer d'abord que la conduction permanente :

Si c'est le cas, l'étude est terminée; si la condition n'est pas vérifiée alors :

Ø      Supposer la conduction interrompue

Nous voulons charger une batterie de f.é.m E = 24 V à partir d'une source V = 48 V. Nous choisissons

f = 5 kHz, L = 2 mH et R = 4 ohms.Le tableau ci-dessous donne les résultats obtenus, d'abord par le calcul direct puis par la méthode simplifiée, en faisant varier a de 0 à 100 %.

 

Nous constatons que les résultats obtenus par la méthode simplifiée ne s'écartent pas de plus de 11 % de ceux obtenus par le calcul direct bien que t = 2,5.T ne satisfasse guère à la condition t >> T.

Traçons sur la fig.6, les graphes des grandeurs moyennes en fonction du rapport cyclique.

Nous constatons que ce montage n'est pas très satisfaisant :

Ø en conduction discontinue, le courant reste faible, avec une forte ondulation : pour a = 30 %, Di / I = 3,6

Ø      en conduction permanente, le courant varie rapidement avec a (variation de 0,12 A pour une variation de 1% de a); il est donc difficile de régler précisément le courant.

4 Alimentation du hacheur

4.2 Effet de l'inductance parasite de la source

v     modifie la tension moyenne U qui devient U = V.(a - t₁/T)

v     crée une surtension L'.I / t_off aux bornes de K lors de son ouverture

v     crée des pertes à l'ouverture dans K puisqu'il y a durant t_off à la fois du courant et de la tension.

L'énergie perdue à chaque ouverture est  correspondant à des pertes de puissance p_off = f.w_off.

v     Si nous prenons un transistor bipolaire t_off est de l'ordre de 1 µs. La surtension d'ouverture est de 30 V, c'est à dire que la transistor doit supporter 230 V au blocage. La puissance perdue à l'ouverture est : p_off = 34,5 W.

v     Si nous prenons un transistor MOS, t_off est de l'ordre de 0,1 µs. La surtension d'ouverture est de 300 V, c'est à dire que la transistor doit supporter 500 V au blocage. La puissance perdue à l'ouverture est : p_off = 7,5 W.

v     la fréquence de résonance f_o = 1/[2.p.Ö(L'.C')] doit être inférieure à la fréquence du hacheur pour éviter la création d'oscillations par mise en résonance du circuit L' - C' par le fondamental ou un harmonique d'un des signaux.

v     la charge à fournir durant le temps d'établissement de j est de l'ordre de Dq = I.t₁=L'.I^²/V; cette variation de charge crée une chute de tension Dv' = Dq / C', valeur qui doit être négligeable devant V; on en déduit L'.I^²/C'.V << V soit C >> L'.(I/V)^².

v     à l'ouverture de K, le circuit V, L', C' est isolé du hacheur; nous avons V=L'.dj/dt+V' et j' = C'dv'/dt soit L'C'.d^²v'/dt^² + v' =V ou d^²v'/dt^² + w_o^².v' = w_o^².V; la solution de cette équation est de la forme ; en prenant l'origine des temps à l'instant d'ouverture de K, il vient v'(0)=V = V+ A donc A = 0; ; à t = 0, j = j' = I donc B = I/C'.w_o ; nous en déduisons v' = V + (I/C'.w_o).cos(w_o .t); à t= 0+, on a v_k = v' = V +I/C'.w_o.

Il apparaît donc une surtension (I/C'.w_o) à l'ouverture de K; le circuit oscille mais les oscillations sont en fait rapidement amorties par les résistances de la source et des connexions. La tension V +I/C'.w_o doit être inférieure à la tension maximale que peut supporter K au blocage.

5.1 Définition

5.2 Mise en équations

exemple

Etudions l'alimentation d'un moteur série par un hacheur

Le moteur est modélisé par la fig.14 :

 

L'inducteur de résistance R_s=7,5mW et d'inductance L_s= 2,8 mH est parcourue par le courant d'excitation is .

L'induit est modélisé par la résistance R_a= 19 mW , l'inductance L_a= 4,5 mH et la f.é.m. E

L'inducteur est shunté par la résistance s = 48,1 mW .

On donne la caractéristique à vide relevée à la vitesse n_o = 800 tr /min:

On donne également le moment du couple de pertes, supposé constant, T_p = 700 Nm.

Étudions la machine en régime permanent continu :

Pour un courant d'induit I, on a un courant d'excitation I_s =s.I /(s+R_s) et une résistance totale du circuit

R = R_a + s. R_s /(s+R_s)=25,5 mW ; d'où E = U - R.I

v     Point 1 : V = 1 kV et I = 1 kA ; on calcule le courant d'excitation I =865 A, la f.é.m.E = 974,5 V.

Pour le même courant d'excitation et à la vitesse n_o, on aurait E_o = 1 270 V; nous en déduisons la vitesse

n = n_o.E/E_o= 614 tr /min. Le moment du couple électromagnétique est T_em = E.I / W = 15 200 Nm ; le moment du couple utile est T_u = T_em - T_p = 14 500 Nm. Le rendement est h = (T_u . W) / (U.I) = 92,95 %.

v     Point 2 : n = 400 tr / min et I =1,5 kA; on calcule I_s =1,3 kA donc E_o = 1 470 V à 800 tr / min donc

E = 735 V à 400 tr /min ; U = E+R.I = 773 V. T_em = E.I / W = 26 300 Nm ; le moment du couple utile est T_u = T_em - T_p = 25 600 Nm. Le rendement est h =  92,56 %.

v     Point 3 : au démarrage, on limite le courant à 2,5 kA; on doit donc limiter la tension à U = R.I = 64 V. Nous avons I_s = 2 160 A soit E_o = 1800 V et T_em = E_o.I / W_o = 53 700 Nm.

Le hacheur alimenté par une tension V = 1,5 kV a des temps de commutation nuls; il est commandé à la fréquence f = 250 Hz avec le rapport cyclique a. On suppose que la tension u est un créneau d'amplitude V et de rapport cyclique a donc U = a.V.

Si on néglige l'effet de s, l'inductance totale du circuit est L = L_a+L_s = 7,3 mH et la résistance R=26,5 mW.

La constante de temps électrique est donc t = L / R = 275 ms, valeur grande devant la période du hacheur

T = 1/f = 4 ms. Nous pouvons donc utiliser le calcul simplifié.

L'ondulation crête à crête est ; sa valeur maximale est V/4.L.f = 205 A.

La conduction sera continue à tout régime si le courant moyen est supérieur à Di / 2, soit dans le cas le plus défavorable I > 103 A, valeur suffisamment faible pour que la conduction soit toujours permanente.

Pour le point 1, on veut U = 1 kV soit a = 1/1,5 = 66,67 %; on a donc Di = 183 A.

Pour le point 2, on veut U = 0,773 kV soit a = 51,53 %; on a donc Di = 205 A.

Pour le point 3, on veut U = 64 V soit a = 4,27  %; on a donc Di = 34 A.

L'ondulation du courant i, explique la présence de la résistance de shunt s. En effet, l'ondulation du courant inducteur est préjudiciable au fonctionnement; elle crée des pertes fer supplémentaires dans le stator et surtout détériore la commutation du courant dans le collecteur.

Le branchement de la résistance s modifie peu la composante continue du courant ( moins de 14 %) mais contribue à lisser le courant inducteur.

Plaçons nous dans le cas le plus défavorable pour l'ondulation, c'est à dire pour a = 50 %. Le courant i est alors un signal triangulaire de valeur moyenne I et d'ondulation crête à crête 205 A; sa décomposition en série de Fourier donne :

en posant q =2.p.f.t.

Sans le shunt s, on aurait i_s = i. Avec le shunt, on a calculé la composante continue de i_s; pour la composante de fréquence n.f, il faut prendre en compte l'impédance et on a : I_sn / I_n = s /(s+R_s+j. 2.p.n.f.L_s) soit en module .

Nous en déduisons :

La présence du shunt divise l'harmonique 1 du courant par 92 et l'ondulation crête à crête de i_s est de l'ordre de 2 A.

Le courant fourni au hacheur par la caténaire doit être lissé pour ne pas créer des parasites pouvant perturber la commande des signaux disposés le long des voies.

La norme SNCF impose de ne pas dépasser une ondulation de tension de 20 % aux bornes du hacheur et une ondulation de courant de 300 mA dans les lignes. D'après l'étude du paragraphe 4.3, nous devons choisir un condensateur de capacité C = I / 4.f.Dv' et une inductance de valeur L = I/32.f^².C.Di.; dans le cas le plus défavorable où I = 2,5 kA et V = 1 kV , Dv = 200 V et Di = 0,3 A nous avons C = 12 500 µF et

L = 333 mH.

Il est impossible de réaliser l'inductance du filtre car une telle valeur d'inductance pouvant supporter un courant de 2,5 kA nécessiterait un circuit magnétique de plusieurs dizaines de tonnes. On voit donc l'intérêt d'utiliser une fréquence de découpage élevée donc de ne pas utiliser de thyristors pour réaliser les interrupteurs.

A l'époque où ce premier hacheur de locomotive a été conçu, on ne disposait pas de transistors pouvant commander de telles puissances; la solution retenue consistait à entrelacer trois hacheurs par moteur, c'est à dire à alimenter le moteur par trois hacheurs en parallèle; chaque hacheur fonctionne à f =250 Hz et les commandes des trois hacheurs sont décalées de 1/3 de période. Le courant consommé par l'ensemble des trois hacheurs a alors une fréquence 3.f, ce qui permet de diviser par 3 la capacité et l'inductance du filtre; pour gagner encore en fréquence, on utilise le fait que pour deux moteurs on a six hacheurs donc en décalant les commandes des deux moteurs d'une demie période on arrive à une fréquence du courant de ligne égale à 6.f; si on garde C = 12 500 µF, on aura L = 333 / 36 =10 mH.

Le filtre de ligne ainsi calculé comporte 4 tonnes de condensateurs et 1 tonne d'inductance