Équation

Forme générale a.y" + b.y'+ c.y = g(t) avec y" = d²y.dt² et y' = dy/dt

• si a = 0, l'équation est du premier ordre
• si b = c = 0 , on a.d²y = g(t).dt²/a , simple calcul d'intégrale

On supposera par la suite a , b et c non nuls

 

Étape 1 = Mise sous forme canonique

La forme canonique du premier ordre a.y"+ b.y'+ c.y =g(t) se caractérise par un coefficient 1 pour la dérivée seconde y".

En divisant par a, il vient y" + (b/a).y' +(c/a).y = g(t)/ a

soit : y" + 2.z.wo. y' +wo².y = f(t) avec :

wo = Ö(c/a) ; = b/2.Ö(a.c) ; f(t) = g(t) /a

wo est la pulsation propre et z le coefficient d'amortissement

 

Étape 2 = Résolution de l'équation sans second membre

La forme de cette solution dépend des racines de l'équation caractéristique x² + 2.z.wo. x + wo² = 0

Le déterminant réduit de l'équation est :

D' = wo².(z² - 1)

v si D' > 0, soit z > 1, l'équation caractéristique a deux racines réelles x1 et x2; la solution est alors :

y1 = A.exp(x1.t) + B.exp(x2.t)

v si D' =0, soit z = 1, l'équation caractéristique a une racine double - z.wo = -wo; la solution est alors

y1 = (A+B.t).exp(-wo.t)

v si D' < 0, soit z < 1, l'équation caractéristique deux racines complexes conjuguées - z.wo ± j.w avec w =wo .Ö(1-z²) , la solution est alors :

y1 = exp(-z.wo.t).[A.cos(w.t) + B.sin(w.t)]

 

Étape 3 : recherche d'une solution particulière

On cherche une fonction particulière y2(t) qui satisfasse à l'équation avec second membre :

• Si f(t) = K = Cste, on cherche y2 = K' = Cste ;
• y"2 = y'2 = 0 donc y"2+ 2.z.wo. y'2 + wo². K' = K donc la solution particulière est y2 = K /wo²

• Si f(t) = a'.t+b' on cherche y2 = = a.t + b ; y'2 = a y"2 = 0 ; 2.z.wo. a + wo². (a.t + b ) identique à
• a'.t + b' ; deux polynômes sont identiques si leurs coefficients sont égaux soit

wo².a = a' et 2.z.wo.a + wo².b = b'

 

• Si f(t) est une fonction sinusoïdale , y2 est une fonction sinusoïdale de même fréquence

La méthode complexe nous donne une solution :

Étape 4 : solution générale

La solution générale de l'équation est la somme des fonctions obtenues aux étapes 2 et 3 :

y(t) = y1(t) + y2(t)

 

Étape 5 : calcul des constantes d'intégration

La solution générale y(t) contient deux constantes arbitraires A et B.

Pour calculer A et B nous avons besoin des valeurs initiales de y(t) et de y'(t)

 

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