Le programme du consommateur s'écrit :
Max U (x,y)
Sous R = p_xx + p_yy

En utilisant la méthode de Lagrange, le programme devient :

L (x,y,λ) = U (x,y) + λ (R - p_xx - p_yy
Les conditions du premier ordre sont :
(1) δL(x,y,λ) / δx = (δU /δx) - λp_x = 0
(2) δL(x,y,λ) / δy = (δU /δy) - λp_y = 0
(3) δL(x,y,λ) / δλ = R - p_xx - p_yy = 0

(1) et (2) donnent le résultat attendu :
(δU / δy) / (δU / δx) = p_y / p_x
la troisième condition assure que tout le revenu est bien dépensé.

Pour être certain d’avoir un maximum il faut encore que les conditions du second ordre soient vérifiées ce qui est le cas si les prix sont positifs (ce qui toujours vrai).