Chimie du solide

Compétences:

trouver les valeurs proposées dans les conditions de stabilité des cristaux ...

Conditions de stabilité des cristaux

La coordinance 3 parfaite est obtenue pour R⁺ / R^- = 0,155 (tous les ions sont en contact), elle est conservée jusqu’à R⁺ / R^- = 0,224 valeur de la coordinance 4 parfaite.

Les valeurs limites du rapport R⁺ / R^- pour une coordinance de 3, 4, 6, 8 et 12 sont données dans le tableau suivant :

tableau de valeurs limites
Coordinance cation	R⁺/ R^- entre:	Exemple	Cristaux
3	0,155 et 0,224	/	/
4 (tétraédrique)	0,224 et 0,414	SIO⁴ : 0,3	Quartz
6 (octaédrique)	0,414 et 0,732	TIO⁶ : 0,5	Rutile
8 (cubique)	0,732 et 1	CaF⁸ : 0,8	Fluorine
12 (cuboctaédrique)	1 et 1,366	BaO¹² : 1,08	Pérovskite
8	1,366 et 2,414	Inversion R^- / R⁺

Remarque : la condition est nécessaire mais non suffisante et à elle seule, elle ne permet pas à de préciser le type de structure d’uncristal (il y a des exceptions à cette règle).

hauteur du triangle équilatéral :

h = 2 R^{-} \sin (60)

h = \frac{2 R^{-} \sqrt{3}}{2}

sachant que:

\frac{2}{3} h = R^{+} R^{-}

\frac{2}{3} (\frac{2 R^{-} \sqrt{3}}{2}) = R^{+} R^{-}

en divisant par R^-

\frac{\frac{2}{3} (\frac{2 R^{-} \sqrt{3}}{2})}{R^{-}} = \frac{R^{+}}{R^{-}} + 1

\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 = \frac{R^{+}}{R^{-}}

0,155 = \frac{R^{+}}{R^{-}}

\frac{diagonale}{2} = R^{+} + R^{-}

sachant que:

\frac{diagonale}{2} = \frac{2 R^{-} \sqrt{2}}{2} = R^{-} \sqrt{2}

donc

R^{+} + R^{-} = R^{-} \sqrt{2}

en divisant par R^-

\frac{R^{+}}{R -} + 1 = \sqrt{2}

\frac{R^{+}}{R -} = \sqrt{2} - 1 = 0,414

\frac{diagonale du cube}{2} = R^{+} + R^{-}

sachant que:

\frac{diagonale du cube}{2} = \frac{2 R^{-} \sqrt{3}}{2} = R^{-} \sqrt{3}

donc

R^{+} R^{-} = R^{-} \sqrt{3}

en divisant par R^-

\frac{R^{+}}{R^{-}} = \sqrt{3} - 1 = 0,732

aucun calcul car au centre d'un cuboctaèdre l'atome a la même taille que es autres aussi :
R⁺ / R^- = 1

Pour faciliter les calculs, on considère le cube virtuel (cliquer sur "style" puis "boîte englobante")

alors diagonale de la face = 2 R^-
côté du cube $\frac{2 R^{-}}{\sqrt{2}} = R^{-} \sqrt{2}$

Les calculs dans le cube étant largement utilisés, cette présentation permet de simplifier les équations

$\frac{diogonal du cube virtuel}{2} = R^{+} + R^{-}$
sachant que:
$\frac{diogonal du cube virtuel}{2} = \frac{(R^{-} \sqrt{2}) \sqrt{3}}{2}$
$\frac{diogonal du cube virtuel}{2} = \frac{R^{-} \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
donc
$R^{+} + R^{-} = \frac{R^{-} \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
en divisant par R^- on obtient:
$\frac{R^{+}}{R^{-}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - 1 = 0,224$