Les indices de Miller sont très utiles pour interpréter les diagrammes de RX mais il ne sera développé que le cas des systèmes cubiques P, I et F car pour les autres systèmes, il est nécessaire d'utiliser des logiciels qui traitent les données et proposent des structures.
Partant du premier plan 100 pour lequel la somme des carrés donne 12 + 02 + 02 = 1, on va
chercher des chiffres dont la somme est égale à 2, 3, 4, ...
le second plan 110 a une somme de 12+ 12+ 02= 2
(il suffit de remplacer un 0 par 1),
le troisième plan 111 a une somme de 12 12+ 12= 3
(il suffit de remplacer encore un 0 par 1),
le quatrième plan 200 a une somme de 22 + 02 + 02 = 4
(il faut passer au chiffre 2),
le 5ème plan 210 a une somme de 22+ 12+ 02= 5
(il suffit de remplacer un 0 par 1),
le 6ème plan 211 a une somme de 22 + 12 + 12 = 6
(il suffit de remplacer encore un 0 par 1),
On constate que la somme des carrés de trois nombres entiers ne peut donner 7
le 7ème plan 220 a donc une somme de 22 +
22+ 02=8,
le 8ème plan 221 a une somme de 22 + 22 + 12= 9, ... à vous pour la suite !
(tableau jusqu'à 100)
On rappelle que la somme des carrés de trois nombres entiers ne peut être égale à :
7, 15, 23, 28, 31, ...
plans | h2k2l2 |
---|---|
100 | 1 |
110 | 2 |
111 | 3 |
200 | 4 |
210 | 5 |
211 | 6 |
220 | 8 |
300/221 | 9 |
310 | 10 |
plans | P | L | F | ||
---|---|---|---|---|---|
100 | 1 | 1 | |||
110 | 2 | 1 | |||
111 | 3 | 1 | |||
200 | 4 | 2 | 2 | ||
210 | 5 | ||||
211 | 6 | 3 | |||
220 | 7 | 4 | 3 | ||
300/221 | |||||
310 | 5 | ||||
311 | 4 | ||||
222 | 6 | 5 | |||
320 | |||||
321 | 7 | ||||
400 | 6 | ||||
410/322 | |||||
411/330 | |||||
331 | 7 |
Pour le type cubique P, tous les plans donnent un signal aussi les plans correspondant aux sept premiers signaux sont 100, 110, 111, 200, 210, 211 et 220.
Pour le système cubique I, seul les plans dont la somme des indices de Miller est paire donnent un signal aussi les plans correspondant aux sept premiers signaux sont 110, 200, 211, 220, 310, 222, et 321.
Pour le système cubique F, seul les plans dont tous les indices de Miller sont pairs ou impairs donnent un signal aussi les plans correspondant aux sept premiers signaux sont 111, 200, 220, 311, 222, 400 et 331.
A partir de ce tableau, on peut calculer les différents rapports d1 / dn.
Une analyse des valeurs permet de proposer des règles simples pour déterminer le type de réseau cubique.
A partir du tableau précédent et on calcule les différents rapports.
rapport d1 / dn | |||
---|---|---|---|
n | cubique P | cubique l | Cubique F |
2 | |||
3 | |||
4 | |||
5 | |||
6 | |||
7 |
Les valeurs des distances inter réticulaires (dhkl) peuvent être calculées à partir des indices de Miller et du paramètre de maille (a) :
Système |
On donne X |
||
---|---|---|---|
Cubique | Quadratique | Orthorhombique | Hexagonal |
Monoclinique |
La démonstration se fait dans le sens de cette écriture mais l’utilisation est inverse, on mesure
des angles donc des distances et on en déduit dhkl.
Pour le système cubique comme :
on mesure une succession de dhkl, il est simple d'obtenir le paramètre de maille (a) connaissant le type de réseau.
- à partir du rapport d1 / d2 on ne peut distinguer le cubique P du I,
- à partir du rapport d1 / d2 on peut distinguer le cubique F qui présente une valeur caractéristique (1,51),
- à partir du rapport d1 / d7 on peut distinguer tous les types cubique qui présentent tous une valeur caractéristique (2,83 ;
2,65 et 2,52 pour respectivement les cubiques P, I et F) mais la méthode est limitée dans certains cas par l'absence du 7éme signal.
Les deux calculs sont souvent nécessaires et se confirment mutuellement.