Chimie du solide

correction

La distance entre deux plans 100 (d₁₀₀) est égale au paramètre de maille.

Soit d₁₀₀ = a

La distance entre deux plans 200 (d₂₀₀) est égale au demi paramètre de maille .

Soit d₂₀₀ = a/2

La distance entre deux plans 300 (d₃₀₀) est égale au tiers du paramètre de maille.

Soit d₃₀₀ = a/3

La distance entre deux plans 110 (d₁₁₀) est égale à la demi diagonale de la face .

Soit $d_{110} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

la simplification par √2 conduit à :

$d_{110} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Miller propose :

$d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^{2} + k^{2} + l^{2}}}$

Soit dans ce cas :

$d_{110} = \frac{a}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Si l'on utilise la formule proposée par Miller dans le premier cas :
$d_{100} = \frac{a}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{a}{\sqrt{1}} = a$
$d_{200} = \frac{a}{\sqrt{2^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{a}{\sqrt{4}} = \frac{a}{2}$
$d_{200} = \frac{a}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{a}{\sqrt{9}} = \frac{a}{3}$

Dans ces deux cas, on a pu raisonner en deux dimensions car le troisième indice est nul et tous les plans sont perpendiculaires au plan de l'ordinateur.

Pour le troisième calcul, la formule de Miller est très utile car il y a trois dimensions :

L'image propose le plan 111 de la maille et un autre plan 111 d'une autre maille. La distance est donnée par la diagonale du cube et on constate qu'il y a trois intervalle.
d₁₁₁ est donc égal au tiers de la diagonale du cube.
$d_{111} = \frac{dagonal du cube}{3} = \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Si l'on applique Miller : $d_{111} = \frac{a}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Ce cas est encore simple et l'on peut retrouver la valeur obtenue à partir de la formule de Miller, mais par exemple,
$d_{111} = \frac{a}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$
serait difficile à retrouver géométriquement.
La formule de Miller est alors très utile et nous l'utiliserons dans la suite.