Chimie du solide

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Les compacités des empilements

On a vu qu'il existe des empilements compacts et non compacts mais aussi qu'il existe beaucoup d'autres types d'empilements. La compacité permettra de comparer le "remplissage de le maille" et d'en déduire le pourcentage d'espace non rempli par les atomes.
La compacité se définit comme le rapport entre le volume des atomes contenus dans la maille (atome ou fraction d'atome) sur le volume de la maille que l'on multiplie par 100 si l'on souhaite s'exprimer sur le pourcentage de vide par exemple.

cubique P

cubique I

cubique F

diamant

Dans ces exemples, on considère que tous les atomes sont identiques (r = 50 pm) et que seul leur arrangement dans l'espace diffère, aussi la maille grandit du cubique P (a = 100 pm) au cubique I (115,5 pm) puis F (141,4 pm) et au diamant (230,9 pm).
A vue d'œil, il semble que le plus d'espace entre les atomes soit présent dans le diamant puis dans le cubique P, I et F.
Par la suite nous verrons que des atomes différents ainsi que des ions peuvent aussi donner des empilements.

Pour le cubique P :

Dans cette maille, il y a

$8 x \frac{1}{8} = 1 atomes$

avec

compacité = $\frac{\frac{4}{3} {πr}^{3}}{a^{3}}$

sachant que

a=2r
car les atomes sont en contact selon leur diamètre et l'arrête du cube

donc

$compacité = \frac{\frac{4}{3} {πr}^{3}}{a^{3}} = \frac{\frac{4}{3} {πr}^{3}}{(2 r)^{3}} = \frac{4 π}{3 x 8} = \frac{4 π}{24} = \frac{π}{6} = 0,52$

Il y a donc 52% d'espace occupé par les atomes et 48% d'espace vide (1/2 environ)

Pour le cubique diamant :

Dans cette maille, il y a

$8 x \frac{1}{8} + 6 x \frac{1}{2} + 4 = 8 atomes$

Avec

$compacite = \frac{8 x \frac{4}{3} {πr}^{3}}{a^{3}}$

Sachant que

$\frac{a \sqrt{3}}{4} = 2 r$

donc

$compacité = \frac{8 x \frac{4}{3} {πr}^{3}}{{(\frac{8 r}{\sqrt{3}})}^{3}} = \frac{8 x 4 π 3 \sqrt{3}}{3 x 8^{3}} = \frac{π \sqrt{3}}{16} = 0,34$

Pour le cubique I :

Dans cette maille, il y a

$8 x \frac{1}{8} + 1 = 2 atomes$

avec

compacité= $\frac{2 x \frac{4}{3} {πr}^{3}}{a^{3}}$

sachant que

$a \sqrt{3} = 4 r$
$a = \frac{4 r}{\sqrt{3}}$
les atomes sont en contact selon leur diamètre et la diagonale du cube

donc

$compacité = \frac{2 x \frac{4}{3} {πr}^{3}}{{(\frac{4 r}{\sqrt{3}})}^{3}} = \frac{2 x 4 π 3 \sqrt{3} r^{3}}{3 x 64} = \frac{π \sqrt{3}}{8} = 0,68$

Il y a donc 68% d'espace occupé par les atomes et 32% d'espace vide (1/3 environ)

Pour le cubique F

Dans cette maille, il y a

$8 x \frac{1}{8} + 6 x \frac{1}{2} = 4 atomes$

Avec

$compaticé = \frac{4 x \frac{4}{3} {πr}^{3}}{a^{3}}$

Sachant que

$a \sqrt{2} = 4 r$
car les atomes sont en contact selon leur diamètre et la diagonale de la face du cube.

Donc

$compacié = \frac{4 x \frac{4}{3} {πr}^{3}}{{(\frac{4 r}{\sqrt{2}})}^{3}} = \frac{4 x 4 π 2 \sqrt{2}}{3 x 64} = \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{π}{3 \sqrt{2}} = 0,74$

Il y a donc 74% d'espace occupé par les atomes et 26 % d'espace vide (1/4environ)

La même méthode s'applique quelque soit l'empilement, on compte les atomes puis on observe l'empilement pour trouver une
propriété qui va permettre de proposer une relation entre a et r.