Exercice 1 :
On étudie le montage ci-dessous :
on donne :
è les composants de la source : E = 48 V et Ls = 100 mH
è la capacité du condensateur : C = 33 µF
Les thyristors sont commandés à la fréquence f = 400 Hz; Th1 est fermé avec Th2' de 0 à T/2 et Th1' avec Th2 de T/2 à T.
Leur temps de blocage est tq = 100 µs |
On suppose le courant source parfaitement lissé . La charge est une résistance R = 15 W |
1.1 |
Calculer l'intensité moyenne Is du courant source |
Is = E/R.[1-(4.t/T)(1-X)/(1+X)] avec t = R.C = 495 µs et T = 2,5 ms
X = exp(-T/2.t) = ,0,8 , il vient I, il vient Is = 9,83 A
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1.2 |
Donner les expressions de u, ich et j |
u = R.Is -(R.Is + Uo).exp(-t/t) avec Uo = R.Is.(1-X)/(1+X) = 125,7 V
u = 147,5 - 273,2.exp(-t/t) ; ich = u/R = 9,83 - 18,2.exp(-t/t)
j = 2.Is.exp(-t/t)/(1+X) = 18,2.exp(-t/t)
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1.3 |
Tracer les graphes de ces grandeurs |
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1.4 |
Le blocage des thyristors s'effectue-t-il correctement ? |
D'après le graphe de u(t), au blocage de Th2', la tension u reste négative penndant plus de 250 µs, soit un temps supérieur à tq
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La charge étant inchangée, on abandonne l'hypothèse d'un courant source parfaitement lissé |
1.5 |
Etablir l'équation donnant la tension u et donner la forme de sa solution |
E = Ls.dis/dt + u ; is = ich + j = u /R + C.du/dt soit
Ls.C.d²u/dt² + (Ls/R).du/dt + u = E
La forme canonique est d²u.dt² + 2.a.du.dt + wo².u = wo².E L'équation caractéristique est x² + 2.a.x + wo² = 0 avec a = 1/2.R.C et wo=1/Ö(Ls.C)
Le déterminant réduit D' = a² - wo² = 717 274> 0 donc l'éqution a deux racines réelles x = - 1 857et x' = -163,2
La solution est de la forme u = E + A.exp(xt) + B.exp(x'.t)
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1.6 |
Calculer les constantes d'intégration et en déduire l'ondulation du courant is. Que peut-on en déduire ? |
La tension u est alternative soit u(T/2) = - u(0) ; en posant Y = exp(x.T/2) et Y'=exp(x'.T/2), il vient : A.Y + B.Y' = E = -A - B - E
L'intensité is est de période T/2 soit u(T/2) = u(0)
is = i + C.du/dt = A.(1/R + C.x).exp(x.t) + A'(1/R + C.x').exp(x'.t) donne
A.(1-Y).(1/R+C.x) + A'.(1-Y').(1/R+C.x') = 0
Ces deux équations donnent A = -301.5 V et B = 129,5 V
is = 3.2 + 7,94.exp(x'.t) - 1,62.exp(x.t)
la dérivée est dis/dt = 7,94.x'.exp(x'.t) - 1,62x.exp(x.t) ; elle s'annulle pour
7,94.x'.exp(x't) = 1,62.x.exp(x.t) soit exp(x.t)/exp(x'.t) = exp[(x-x').t] =0,43
soit t = Ln(0,43)/(x-x') = 500 µs ; à cet instant le courant est maximal et vaut
Ismax = 9,87 A; le courant est minimal en t = 0 et vaut Ismin = 9,51 A
L'ondulation vaut donc 0,36 A soit environ 4% de la valeur moyenne; l'hypothèse d'un courant parfaitement lissé peut être retenue
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Exercice 2 : on étudie le montage ci-dessous :
on donne :
è la tension d'alimentation E = 12 V
è les composants de la charge : R = 20 W et L = 100 mH
è la capacité de commutation C = 330 µF
è le transformateur supposé parfait a n1 = 100 spires pour chaque enroulement primaire et n2 = 300 spires au secondaire
è la fréquence de la commande f = 50 Hz
On néglige l'ondulation du courant source is
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2.1 |
Ecrire l'équation donnant le courant j(t) et la forme de sa solution |
De 0 à T/2 Th1 conduit et Th2 est bloqué:
le transformateur impose u = m.v1 avec m = n2/n1 = 3, v1 = v'1 = v /2 ;
m.i = i1 - i'1 ; j = i'1 = C.dv/dt ; i1 + j = Is ; u = R.i + L.di/dt
m.i = Is - 2.j soit j = (Is - m.i)/2 =C.dv/dt = (2.C/m).du/dt
du/dt = R.di/dt + L.di²/dt soit (m/2.C).j = -(2.R/m).dj/dt -(2.L/m).d²j/dt²
d²j/dt² + (R/L).dj/dt + (m²/4.L.C).j = 0
Posons a = R/2.L = 100 et wo=m/2.Ö(L.C) 261,1 rd/s
L'équation caractéristique x² + 2.a.x +wo² = 0 a un déterminant négatif
donc deux racines complexes a -j.w et a + j.w avec w = Ö(wo² - a²) =241,2 rd/s
La solution est de la forme : j = exp(-a.t).[K.cos(w.t) + K'.sin(w.t)]
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2.2 |
En déduire les expressions de u(t) et i(t) en fonction de Is |
i = (Is - 2.j)/m = Is/m + exp(-a.t).[(-2.K/m).cos(w.t) + (-2.K'/m).sin(w.t)]
soit i = Is/m + exp(-a.t).[A.cos(w.t) +B.sin(w.t)]
di/dt = exp(-a.t).[(B.w - a.A).cos(w.t) - (A.w + a.B).sin(w.t)]
soit di/dt = exp(-a.t).[A'.cos(w.t) + B' .sin(w.t)]
u = R.i + L.di/dt = exp(-a.t).[A".cos(w.t) + B" .sin(w.t)]
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2.3 |
Les constantes d'intégration A et B de l'équation de i(t) sont de la forme en fonction A = a.Is et B = b.Is; calculer a et b
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i(t) de période T est alternative donc i(T/2) = - i(0) soit
Is/m + z.[A.cosy + B.siny] = -Is/m - A avec z = exp(-a.T/2) et y = w.T/2
u est aussi alternative donc di/dt est alternative :
z.[A'.cosy + B'.siny] = -A' soit
z.[(B.w - a.A).cosy - (A.w + a.B).siny] = - (B.w - a.A)
(1+z.cosy).A + z.siny.B = -2.Is/m
-(a.z.cosy -w.z.siny -a).A +(z.w.cosy - z.a.siny +w).B = 0
On en déduit a = -0,709 et b = -0.620
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2.4 |
Calculer la valeur de Is |
i = 2,33 - exp(-a.t).[4,96.cos(w.t) +4,34.sin(w.t)]
u =46,7 - exp(-a.t).[154,4.cos(w.t) -76,3.sin(w.t)] ; j = (Is - m.i)/2
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2.5 |
Tracer les graphes de u, i et j |
On se donne une valeur de Is, on en déduit A, B, A', B', A" et B"
v1 = E - Ls .dis/dt avec is de période T/2 ; la tension aux bornes de Ls étant nulle sur cet intervalle on a E = v1 moy calculée sur [0 ; T/2] avec v1 = u/m.
On obtient :
on compare la valeur de m.E trouvée à la valeur donnée soit 36 V. Si on n'obtient pas la bonne valeur, on recommence avec une autre valeur de Is. En procédant par tatonnements, on obtient Is = 7 A
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2.6 |
L'examen des graphes montre que l'on peut assimiler i(t) à une sinusoïde d'amplitude 3 A. En déduire la puissance active dans la charge |
Ieff = Imax / Ö2 = 2,12 A
P = R.I²eff = 90 W et Q = L.w.I²eff = 141 VAR avec w = 100.p rd/s
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2.7 |
Représenter l'intensité it1; cette forme d'onde induit-elle un danger pour le thyristor ? |
De 0 à T/2, Th1 conduit et Th2 est bloqué donc it1 = Is
De T/2 à T, Th1 est boqué donc it1 = 0
On a un fort di/dt à l'amorçage ; ceci va faire chauffer le thyristor car ua moment de l'amorçage seule une petite surface des jonctions est utilisée pour conduire tout le courant
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2.8 |
Que doit-on faire pour préserver les thyristors ? Comment se passe alors la commutation ?
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Pour limiter la vitesse de croissance du courant, il faaut placer une inductance L' en série avec chaque thyristor .
A t < 0, it1 = 0 et it2 = Is ; comme it2 ne peut plus être discontinu, Th1 et Th2 conduisent simultanément pour t > 0 et it1+ it2 = Is = Cste donc dit1/dt + dit2/dt = 0
L'.dit1/dt + v - L'.dit2/dt = 0 donne dit1/dt = -v /2.L'
v étant négative à cet instant, it1 augmente et it2 diminue
Si on suppose que v reste constant durant la commutation et garde la valeur calculée ci-dessus : v = 2.u/m = -72 V
Si on peut limiter di/dt à 30 A/µs, il faudra L' = 1,2 µH
La commutation est finie pour it1 = Is = 7 A soit en t = -2.L'.Is/V
soit 0,2 µs, temps négligeable devant la période
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Exercice 3 : on étudie la structure à résonance ci-dessous
on donne :
è la tension d'alimentation E = 100 V
è les composants de la charge : R = 22W et L = 4 mH
è la fréquence de commande f = 1 kHz
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3.1 |
Quelle est la valeur minimale de C qui permet le blocage correct des thyristors de temps de blocage tq = 50 µs ? On adoptera l'hypothèse du premier harmonique. |
Soit j1 l'argument de l'impédance de la charge à la fréquence f; cet argument doit être négatif pour rendre le blocage possible.
L'admittance Y1 = 1/R + j.(Cw-1/L.w) a pour argument -j1 > 0 tel que
tg j1 = -R. (Cw-1/L.w)
Les thyristors restent sous tension négative durant un temps supérieur à tq si
|j1|> 2.p.tq.f = 0,314 rd soit tg j1 > 0,325 ; on en déduit C > 8,7 µF
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On adopte C = 10 µF et on veut faire le calcul direct des grandeurs |
3.2 |
Le courant source is étant supposé parfaitement lissé, établir l'équation donnant iL et la forme de sa solution |
i = Is = ir + ic +iL ; u = R.i = L.diL/dt ; ic = C.du/dt = L.C.d²iL/dt²
soit L.C.d²iL/dt² + (L/R).diL/dt + iL = Is
La forme canonique est d²iL/dt² + (1/R.C).diL/dt + iL/L.C = Is/L.C
Posons a = 1/2.R.C = 2 273et wo=1/Ö(L.C) = 5 000 rd/s
L'équation caractéristique x² + 2.a.x +wo² = 0 a un déterminant négatif
donc deux racines complexes a -j.w et a + j.w avec w = Ö(wo² - a²) =4 454 rd/s
La solution est de la forme : iL = Is + exp(-a.t).[A.cos(w.t) + B.sin(w.t)]
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3.3 |
En déduire l'expression de u(t) |
u = L.diL /dt = L. exp(-a.t).[(B.w -A.a).cos(w.t) - (A.w +B.a).sin(w.t)]
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3.4 |
Exprimer les constantes d'intégration contenues dans l'équation de iL(t) en fonction des données et du courant Is |
iL est alternatif de période T/2 ;
posons z = exp(-a.T/2) et y = w.T/2
Is + z.[A.cosy + B.siny] = -Is - A
u est aussi alternative donc diL/dt est alternative :
[(B.w - a.A).cosy - (A.w + a.B).siny] = - (B.w - a.A) d'où :
(1+z.cosy).A + z.siny.B = -2.Is
-(a.z.cosy -w.z.siny -a).A +(z.w.cosy - z.a.siny +w).B = 0
On en déduit A = -1,896.Is et B = -1,869.Is
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3.5 |
Comment peut-on calculer Is ? Calculer le courant source.
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Lorsque Th1 et Th'2 conduisent u = E - Ls.dis/dt et lorsque Th2 et Th1' conduisent -u = u = E - Ls.dis/dt; les grandeurs de la source sont donc de période T/2; la tension moyenne aux bornes de Ls étant nulle sur cette période , la valeur moyenne de u sur [0 ; T/2] est égale à E soit
On en déduit Is = 6,98 A
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3.6 |
Tracer les graphes de u, i, iL, ir et iC |
u = exp(-a.t).[-112.cos(w.t) +354.sin(w.t)]
iL =6,98 - exp(-a.t).[13,2.cos(w.t) -13.sin(w.t)] ; ir = u/ R et j = Is - ir -iL
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On adopte l'hypothèse du premier harmonique |
3.7 |
Cette hypothèse vous parait-elle raisonnable pour ir et iL ? |
La fréquence de commande est 20 % supérieure à la fréquence de résonance ; l'hypothèse semble donc peu correcte; cependant les graphes de ir et iL surtout diffèrent peu d'une sinusoïde
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3.8 |
Calculer la puissance fournie à la charge |
P = p².E² / 8.R.cos² j1 ; tg j1 = -R. (Cw-1/L.w) avec w = 2.p/T
j1 = -26,9 ° et P = 705 W
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3.9 |
On veut que la charge consomme la puissance active P' = 1 kW . En déduire la valeur à donner à la fréquence de commande |
Il faut cosj1 =0,749 soit j1 =-41,5 ° ; tg j1 =- 0,886 = -R. (Cw-1/L.w)
L.C.w² +(0,886/R).L.w -1 = 0 donne w = 3 378 rd /s soit f = 538 Hz
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3.10 |
Cette fréquence permet-elle un fonctionnement correct ?
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Non car cette fréquence est inférieure à la fréquence de résonance du circuit L-C qui vaut 796 Hz ; dans ce cas
u(0) est > 0 donc on ne peut bloquer Th2 à l'amorçage de Th1
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